Tot el que ve a continuació és pel cas d’
independent del temps.
Recursos externs
Capítols de llibres de text de la bibliografia
PDFs
Per entendre el cas degenerat
Altres
www.physics.udel.edu
www2.ph.ed.ac.uk
Articles
Libretexts4.1: Perturbation Theory
4.1: Perturbation Theory
In most practical applications of quantum mechanics to molecular problems, one is faced with the harsh reality that the Schrödinger equation pertinent to the problem at hand cannot be solved …
Libretexts
WikipediaPerturbation theory (quantum mechanics)Perturbation theory (quantum mechanics)
In quantum mechanics, perturbation theory is a set of approximation schemes directly related to mathematical perturbation for describing a complicated quantum system in terms of a simpler one. The idea is to start with a simple system for which a mathematical solution is known, and add an additional "perturbing" Hamiltonian representing a weak disturbance to the system. If the disturbance is not too large, the various physical quantities associated with the perturbed system (e.g. its energy levels and eigenstates) can be expressed as "corrections" to those of the simple system. These corrections, being small compared to the size of the quantities themselves, can be calculated using approximate methods such as asymptotic series. The complicated system can therefore be studied based on knowledge of the simpler one. In effect, it is describing a complicated unsolved system using a simple, solvable system.
Wikipedia
Libretexts3.1: Time-Independent Degenerate Perturbation Theory
3.1: Time-Independent Degenerate Perturbation Theory
We have seen how we can find approximate solutions for a system whose Hamiltonian is of the form
LibretextsVídeos
Vídeos bastant útils
Més vídeos sobre teoria de pertorbacions
YouTubeFirst order corrections to energy and wavefunctions - Perturbation Theory (Time indep. non degen)
First order corrections to energy and wavefunctions - Perturbation Theory (Time indep. non degen)
In this video I will derive the first order corrections to the energy levels and the wavefunctions in time independent, non degenerate perturbation theory. This is content that is usually covered in a second course in QM My name is Nick Heumann, I am a recently graduated physicist. I love to teach physics, so I decided to give YouTube a try. English is not my first language, but I hope that you can understand me well enough regardless. ▬ Contents of this video ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ 00:00 Introduction to Quantum Mechanics II 00:24 What is perturbation theory? 03:05 Why do we care about PT in QM? 05:16 Setting up the perturbative equations 14:40 Finding the first order corrections to the energy levels 21:20 Finding the first order corrections to the wavefunctions
YouTubeYouTubeTime-Independent Perturbation Theory
Time-Independent Perturbation Theory
YouTubeStark Effect
YouTubeThe Linear Stark Effect | Quantum Mechanics
The Linear Stark Effect | Quantum Mechanics
In this video, I cover a famous degenerate perturbation theory problem, the linear stark effect. Quantum Mechanics Lecture Series: https://www.youtube.com/playlist?list=PLSpklniGdSfSsAFCzO-YWGlJ4TNv8sMdy
YouTubeYouTubeLinear Stark Effect | Quantum Mechanics | Hydrogen Atom
Linear Stark Effect | Quantum Mechanics | Hydrogen Atom
In this video we talk about the linear Stark effect and how it affects the energy levels of the hydrogen atom. Follow us on Instagram: https://www.instagram.com/prettymuchvideo/ If you want to help us get rid of ads on YouTube, you can support us on Patreon! https://www.patreon.com/prettymuchphysics
YouTubeFormulari - Resum ⭐
Hamiltonians típics, funcions d’ona i energies
típics, funcions d’ona i energies
Oscil·lador harmònic
Fórmules relacionades
Primers polinomis de Hermite
Àtom d’hidrogen
Ortogonalitat
Recordem de que
són els polinomis associats de Legendre, que
són els polinomis associats de Laguerre. I sabem també que es compleixen les ortogonalitats següent.
Funcions d’ona fins a
Senceres
Part radial
Harmònics esfèrics
Segons aquesta web
Considerant la variable
Amb
el nombre atòmic de l’àtom. Tenim que
Segons Sakurai
Que és equivalent a
Donant com a primeres parts radials
Crec que la relació és simplement
o generalitzant a qualsevol
.
Els nivells d’energia són
Pou de potencial infinit
De
a
De
a
Cercle unidimensional de perímetre
Altres (en 1 dimensió) - No solen sortir
Pou de potencial infinit
Barrera potencial
Pou de potencial finit
Escaló potencial
Procés
- Trobar les matrius i
- Els elements de (matriu diagonal) són
- Els elements de són els bra-kets. Maneres de calcular-los
- Mitjançant integrals amb les funcions d’ona
- Mitjançant ortogonalitat
- Amb producte escalar matricial
- Opcionalment podem calcular la matriu
- Fixar-se en si és degenerat o no. I en siés diagonal (a tot l’espai), o si té un subespai diagonal i un altre subespaino diagonal.
- Si no és degenerat ja tenim la base “bona” i podem anar directament al 4t pas.
- Si és degenerat peròés totalment diagonal ja tenim la base “bona” i podem anar directament al 4t pas.
- Si és degenerat peròté un subespaino diagonal (o tot ell és), haurem de trobar abans la base “bona” per poder-li aplicar teoria de pertorbacions.
- Pel cas c, seguirem el següent procediment
- Diagonalitzar
- Els vectors propis ens donaran el canvi de base, passem a la base “bona”.
- Spoiler: ja que els elements de la diagonal de (en la base “bona”) sempre són les correccions a primer ordre de l’energia, si volem directament podem fer.
Nota: les energies sense corregir seran les mateixes (
i
).
- Pel cas no-degenerat (o degenerat però base “bona”) fem el següent
- Calculem la primera correcció de l’energia a partir de la diagonal de
- Calculem la correcció de l’estat a partir d’elements fora la diagonal de
- Opcionalment calculem la segona correcció de l’energia
- Així doncs tindrem
Pel cas degenerat la notació és
On l’índex
s’expressa amb números romans
i el
si cal. Tenim que
són els estats de la base inicial i
són els estats de la base “bona” (trobada al diagonalitzar).
Fórmules generals
L’estat sempre és a 1r ordre
Energia a 1r ordre
Energia a 2n ordre
Exemple matricial
El següent és només un exemple (sistema amb 4 nivells d’energia).
Càlcul dels bra-kets
A vegades haurem de fer-ho mitjançant una integral, utilitzant la funció d’ona
del sistema que ja coneixem.
En una dimensió seria
I a vegades serà més fàcil fer-ho en el discret. Per exemple en l’oscil·lador harmònic és més convenient utilitzar propietats com les següents.
Context pel cas degenerat
Idea conceptual: Ara
és diagonal degenerat. Ens donen la matriu en la base
“canònica”, però al ser degenerat hi ha moltes bases possibles que resultarien en la mateixa matriu. Al introduir la pertorbació, resulta que només hi ha una base que (encara que sigui aproximadament) diagonalitzaria simultàniament
sencer i
en el subespai de la degeneració, aquesta és el que s’anomena la base “bona”
. En aquesta base podrem aplicar les correccions de teoria de pertorbacions que ja coneixem. Així doncs per trobar la base bona haurem de diagonalitzar
.
- Diagonalitzem per separat els diferents blocs de
- Els vectors propis ens donen el canvi de base, les energies sense corregir seran les mateixes, i els valors propis ens donaran la correcció a primer ordre de les energies.
- En aquesta base podrem calcular les correccions dels estats “bons” amb les fórmules que ja coneixem
- Opcionalment calculem també la correcció a segon ordre de l’energia
Teoria cas no-degenerat
Per fer teoria de pertorbacions no cal realment entendre d’on surten les fórmules. Aquesta secció és més aviat opcional.
Cas No-Degenerat
Introducció
Donat un hamiltonià
independent del temps, no sempre serà fàcil calcular analíticament
tal que satisfaci l’equació de Schrödinger
.
En aquests casos, el que farem serà trobar una aproximació del nostre estat quàntic
.
Principalment hi ha dues maneres de fer aquesta aproximació, una és amb teoria de pertorbacions, i l’altra és amb mètodes variacionals.
En teoria de pertorbacions, el que fem és descompondre el nostre hamiltonià
en una part que sabem resoldre analíticament, i una part que desconeixem, el que s’anomena una pertorbació.
Nota sobre notació amb , o
A vegades s’utilitzen notacions diferents.
Però són equivalents, la idea és la mateixa. En els casos que a l’enunciat no apareix la
explícitament, li hem de posar nosaltres al realitzar l’aproximació.
Únicament considerarem pertorbacions molt petites
, i conseqüentment podrem aproximar de manera satisfactòria, l’estat quàntic
i també l’energia
(ja que estem en el cas no-degenerat) fent Taylor a 1r o 2n ordre.
L’equació de Schrödinger del nostre sistema prendrà doncs la forma següent
Distribuint els parèntesis i igualant potències de
, arribem a les següents dues relacions
Procés
Primer distribuïm els parèntesis i obtenim una expressió bastant llarga
Ignorem els termes ordres de magnitud més petits que
(és a dir
,
, etc.).
Igualem els termes que tenen la mateixa potència de
, obtenint:
A ordre 0, el que ja sabíem…
A 1r ordre, la següent relació…
Nota
A mode de clarificació, podríem pensar que potser hauríem de fer…
Però no tindria sentit igualar expressions amb
i no utilitzar
i
. L’ordre
de l’aproximació no ve determinat per si considerem
i
o si els ignorem, sinó per quins termes tenen una
en l’expressió resultant de l’equació de Schrödinger aproximada.
Notar també que encara que consideréssim expressions de
i
a 3r ordre, o 4t o 5è… l’expressió que obtindríem al igualar termes amb
seria la mateixa, ja que els nous termes sempre anirien acompanyats d’una
.
A 2n ordre, aquesta altra relació…
I aquestes són les dues relacions que buscàvem.
1a relació
Si multipliquem la relació
per
a ambdós costats de l’igual, i desenvolupem una mica, arribarem a
Procés
Partint de
, que és la relació
Farem un bra-ket als dos costats del igual amb el bra
, obtenint una relació escalar
El primer terme donarà zero.
Aviam?
Girem l’expressió
Recordem (postulat 2) que
és un escalar i
és un operador hermític
Distribuïm el ket
Recordem que
I per tant obtenim que efectivament el terme és zero
Així doncs l’expressió quedarà
Separant el bra-ket en dos tenim que
I veiem molt fàcilment que el terme de l’esquerra és simplement l’energia
.
Per què?
Perquè
és un escalar i surt fora, i
.
Així doncs l’expressió es simplifica a
Que és la definició de
que buscàvem
Si en canvi, decidim multiplicar la mateixa relació per
, obtindrem la relació
Procés
L’expressió
multiplicada pel bra
, amb
, resulta en la relació escalar
El terme de l’esquerra donarà el següent
Aviam?
Girem l’expressió
Recordem (postulat 2) que
és un escalar i
és un operador hermític
Distribuïm el ket
Recordem que
I per tant obtenim
Ho tornem a girar de nou, i fixem-nos que
és un nombre real (no sé perquè), per tant
I el terme de la dreta serà simplement
Quedant per tant
I aïllant obtenim
Que canviant li el signe (al denominador) és la relació que buscàvem
I per la relació de completesa, sabem que sempre podem escriure
com a
Així doncs, substituint
per la relació obtinguda, trobem
2a relació
Multiplicant la relació
per
a ambdós costats de l’igual, i utilitzant la condició d’ortogonalitat entre correccions de
s’arriba a
Procés
Havíem obtingut la relació
, que era
Si ara fem un bra-ket als dos costats de l’igual amb el bra
, obtenim la relació escalar
De la mateixa manera que abans, el terme de l’esquerra es fa zero, quedant
I ara farem un incís important, la ortogonalitat entre les diferents correccions de l’estat quàntic, és una cosa que es postula, no es dedueix. Es pren com a suposició doncs que
Així doncs, al separar el bra-ket en dos, un dels termes es farà zero
Obtenint finalment la correcció a segon ordre de l’energia
Que sorprenentment, no depèn de
.
Si ara substituïm l’expressió del ket
trobada en l’anterior apartat, i desenvolupem una mica, quedarà
Aviam?
Recordem que
Substituint l’expressió de
en el nostre bra-ket…
…dona el següent
Res ens impedeix entrar el bra
i
dins del sumatori i commutar el ket
amb escalars, quedant
Ara només hem de recordar que
, i
, així doncs l’expressió resultant serà
Fins aquí tot el que sol entrar (pel cas no-degenerat).
Si volguéssim també podríem calcular la correcció a 2n ordre
, però mai ens la demanaran.
Procés
“Ho farem multiplicant la relacióperi, un cop obtingut, utilitzarem la relació de completesa per obtenir.”
Tenim que la relació
és
Multiplicada pel bra
, amb
, resulta en la relació escalar
El terme de l’esquerra es simplificarà a
Aviam?
Girem l’expressió
Recordem (postulat 2) que
és un escalar i
és un operador hermític
Distribuïm el ket
Recordem que
I per tant obtenim
Ho tornem a girar de nou, i fixem-nos que
és un nombre real (no sé perquè), per tant
Dubte que tinc
Es compleix sempre
, i
, de manera que
? Bé, tot i així, hauríem de calcular
i acabaria sent la mateixa expressió en funció dels termes de la matriu
però estaria bé saber-ho.
I el terme de la dreta el separarem en dos. L’expressió sencera serà doncs
Anem a aïllar el terme que busquem
Molt bé,
i
ja els coneixem, són
Posant-ne la seva expressió tenim
Abans de res, simplifiquem-ne els signes
I ara el que toca és preguntar-se què és el terme
. Per descobrir-ho podem substituir l’expressió que ja coneixem de
I tal com abans, entrem
i
a dins del sumatori, i commutem
amb els escalars, quedant
Si ara ho substituïm a la nostra expressió
tindrem
Molt bé, i ara a partir de la relació de completesa següent
Obtenim la correcció de segon ordre de l’estat
Que es pot escriure també de la següent manera
Anem a comprovar que ho hem fet bé. Si anem a la pàgina 314 del llibre “Modern Quantum Mechanics - Sakurai” veurem que l’equació
ens diu que hauria de donar
Que efectivament és la nostra expressió (simplement reanomenant
i
).
Com veieu és una expressió bastant lletja i no tindria sentit haver de calcular-la en un examen (tardaríem la vida).
Hamiltonià i pertorbació com a matrius
Recordem que
és el hamiltonià conegut i
és justament la pertorbació. Per nivells d’energia finits els podrem escriure com a matrius (per nivells infinits realment també però serien matrius infinites).
, al ser un operador hermític, serà diagonal per definició. En canvi
en general no ho serà.
Exemple
Suposem un sistema amb
nivells d’energia possibles (de moment considerarem sols el cas no-degenerat).
Notes conceptuals
Si recordem, teníem que les correccions a 1r i 2n ordre de l’energia eren
Així doncs la diagonal de
estarà relacionada amb la correcció a primer ordre de l’energia, i els termes fora de la diagonal amb la correcció a segon ordre .
Notar també que si trobem la matriu
pràcticament ja hem trobat la matriu
. Només diferiran en la diagonal (haurem de restar-li a aquesta les energies de
)
Càlcul dels bra-kets
Segons el potencial que ens doni l’enunciat, a vegades haurem de calcular els bra-kets en el discret, i a vegades en el continu, en el segon cas haurem de saber resoldre integrals del tipus
Per exemple, en una dimensió, serà
On
serà la funció d’ona ja coneguda de FQ per sistemes típics (oscil·lador harmònic, pou de potencial infinit, electró en l’àtom d’hidrogen…)
Teoria cas degenerat
Apartat no acabat. De moment només hi ha idees esbossades, algunes amb errors.
Procés
Ignorar…
Context previ
Ara tenim que
és degenerat. Si un estat
és degenerat, vol dir que hi ha alguna
per la qual
, i per tant intentar fer-ho amb el que hem aprés fins ara no funciona.
El denominador donaria zero, i l’expressió divergiria. Com procedirem doncs?
Farem diverses suposicions, que prendrem com a certes per tal de procedir (i en general no ho seran però solen ser una bona aproximació)
- Suposarem que (si la pertorbació és petita) només es barregen (linealment) els estats degenerats, deixant invariants la resta.
Això vol dir que si
té el primer nivell d’energia no-degenerat i dos degenerats.
tindrà la primera columna calculada amb teoria de pertorbacions normal, i les altres dues amb el mètode que explicarem a continuació.
Notació: Anomenarem
als estats no-degenerats de
i
als seus estats degenerats. De la mateixa manera, anomenarem
als estats d’
calculats amb teoria de pertorbacions normal, i
als estats d’
provinents dels estats degenerats d’
.
Procés
Així doncs, escriurem els estats d’
que provenen de la degeneració
, com a combinacions lineals dels estats degenerats.
L’equació de Schrödinger és doncs
I sabem que, estem considerant només els estats degenerats, així doncs
I per tant l’expressió queda
I per tant ens queda la igualtat següent
Si ara, fem el truc de multiplicar per
a als dos costats de l’igual, ens queda
I per tant
Que no sé com implica la matriu següent
Aleshores no és cert que…
Nop. No és cert.
Exemple
és diagonal, però
no ho serà. No caldrà que considerem la matriu sencera, només el bloc que hem de diagonalitzar.
I ara diagonalitzarem aquesta matriu. Obtenint els següents valors i vectors propis (no-degenerats).
Aleshores ara ens crearem uns nous estats
La idea és semblant a el que fèiem amb dos oscil·ladors harmònics acoblats, que trobàvem unes freqüències de ressonància
i
que feien la matriu diagonal.
Que tindran per energia
Comprovar que per
obtenim les
corresponents a
Energia a 2n Ordre
Fem el mateix que abans, però ara per calcular les energies a segon ordre, no comptem els estats degenerats en la suma
La gràcia
Cas degenerat
Quina és la gràcia
Si
té dos nivells d’energia degenerats i un de no-degenerat, significa que existeix un pla (subespai vectorial) de degeneració, en què tots els vectors del pla són vectors propis. Dit d’altra manera, existeixen infinites bases que es corresponent a la mateixa matriu diagonal de
.
Suposem per un moment que
, això implicaria que existeix una base que els diagonalitza simultàniament. Aleshores de totes les possibles bases que teníem abans, només en hi ha una que diagonalitza els dos a la vegada, aquests són els vectors propis “bons”.
La gràcia de la teoria de pertorbacions degenerada, és que fins i tot si
, per pertorbacions suficientment petites
podem aproximar
. I imaginar que existeix igualment una base “bona”.
Vale crec que no. Quan
podem diagonalitzar tot
la matriu queda 100% diagonal) i quan
, només diagonalitzar el subespai corresponent a la degeneració de
, quedant la resta de termes fora del subespai no-nuls, i per tant la matriu sencera no-diagonal.
Dit d’altra manera, gràcies a la degeneració és com si commutessin “parcialment”. Això es troba més il·lustrat en el següent desplegable:
Propietats útils de matrius i commutadors
Si
és una matriu diagonal, molt possiblement
Si no hi ha degeneració (els valors propis d’
són tots diferents), caldrà que
també sigui diagonal.
Si un valor propi té degeneració, la matriu commutarà segons la forma de
(haurà de ser diagonal per blocs). I per tant és més possible que commutin.
Fet important: Sempre existirà una base que diagonalitzi simultàniament
i el bloc
.
Si tots els valors propis són iguals (el bloc agafa tota la matriu), commutarà per qualsevol matriu
.
Si
les dues matrius són diagonalitzables simultàniament
És a dir que podem trobar una base de vectors propis comuna (encara que amb valors propis diferents).
Si
no presenta degeneració i
,
i
comparteixen vectors propis
És a dir, al tenir
tenim que les dues matrius són diagonalitzables simultàniament.
I resulta que si tots els valors propis de
són diferents, obtenim els mateixos vectors propis per les dues matrius (i diferents valor propis en general).
Si
presenta degeneració i
, hi haurà un subespai de vectors propis compartits.
És a dir hi haurà un subespai de les dues matrius que es podrà diagonalitzar simultàniament per les dues.
Així dons trobarem aquesta base perquè serà la que diagonalitzi
.
I de què ens serveix trobar aquesta base? Que llavors podem aplicar teoria de pertorbacions normal.
Per què? Perquè en aquesta base
és diagonal, i per tant els termes
són zero. Així doncs en l’expressió…
… malgrat el denominador sigui zero, el numerador també, i són zeros del mateix ordre de magnitud (la seva divisió dona
), i conseqüentment l’expressió no divergeix.
Dubte: No sé si dona 1 o si dona zero, i per tant aquell estat no contribueix.
Cosa que crec que és molt important
Suposem les dues següents matrius
En el subespai de la degeneració
és diagonal, això vol dir que els elements diagonals són les correccions a primer ordre de l’energia. I la pregunta és, i la correcció de l’estat i la correcció a segon ordre de l’energia com la calculem? Bé, doncs ja sabem que es calcula amb els elements fora de la diagonal, però fixar-se que forçosament en el subespai de la degeneració són zero. Aleshores és com que no s’utilitzen (com si malgrat el denominador fos zero, el numerador tingués més pes, i l’expressió es fes zero).
Mapa mental a seguir
Idees claus
Previ:
“In fact, the approximation we make is completely different: we assume that the small perturbation only mixes those states which are degenerate.”—> Punt clau
“We write a perturbed eigenstateas a linear expansion in the unperturbed degenerate eigenstates only.”—> Dit d’altra manera, expressem els estats decom a combinació lineal dels estats de.
“When we have a degeneracy in the Hamiltonian, a problem is that there is no 'true' preferred basis to work with. Any rotation within a degenerate sub-space is allowed without changing the fact that the Hamiltonian is still diagonal.”
“Whenever there is degeneracy we are free to choose our base set of unperturbed kets. We should, by all means, exploit this freedom. Intuitively we suspect that the catastrophe of vanishing denominators may be avoided by choosing our base kets in such a way thathas no off-diagonal matrix elements [such as]. In other words, we should use the linear combinations of the degenerate unperturbed kets that diagonalizein the subspace spanned by the degenerate unperturbed kets. This is indeed the correct procedure to use.
—> Dit d’altra manera, al tenir només
(degenerat) podem triar entre moltes bases, però al tenir
, només hi ha una base que diagonalitzi simultàniament
i
. Més info aquí.
Clar és que si ho féssim amb el que hem aprés fins ara tenim un denominador que és zero.
Teorema “estats bons”
Quina és la gràcia?
Nota: a vegades les energies
i
seran iguals, aleshores necessitarem pertorbació a segon ordre per trencar la degeneració, però el teorema segueix sent vàlid.
Demo valors propis iguals al canviar de base
És un resultat que ja podríem haver esperat, ja que sabem de que els valors propis són invariants sota canvis de base generals.
Concepte
Ara
és diagonal i degenerat. El nostre objectiu serà trobat una base de vectors propis comuna a
i
tal que
no sigui degenerat. Serà diagonal per blocs?
La idea està en què si, per exemple, tenim quatre nivells d’energia possibles tals que
- és no-degenerat
- és degenerat
- és degenerat
- és no-degenerat
Per
i
podrem aplicar el que hem vist fins ara (aproximar-los a primer ordre, i calcular la seva energia corresponent a primer ordre o si volem també a segon ordre).
Però per
i
no ho podrem aplicar, haurem de procedir d’una altra manera, que és la que ara veurem.
Al final s’arriba a la següent equació (en mode determinant)
Notes extra
No sé si és útil
Okay imagino que donaria diagonal, però quina és la gràcia si ja sabem que
és diagonal?
Important (crec)
You are correct, a linear combination of the ground state and the first excited state is not an energy eigenstate of the one-dimensional infinite square well. There is no degeneracy in the energy eigenvalue spectrum for the one-dimensional infinite square well. It is the degeneracy that guarantees that any linear combination of eigenstates of
in the degenerate subspace of
will be an eigenstate of
.
Degeneració de
Què és
, aquest és el dubte real que hem de resoldre dels apunts del Garrido.
Mirar aquí:
www.physics.udel.edu
Vale
Exemple
Ara haurem de diagonalitzar la matriu per blocs.
Diagonalització pel cas no-degenerat
Exemple
Imaginem que
,
, i
.
Per totes tindrem
La diferència és que per
i per
calcularem les seves correccions a 1r ordre
i
tal com hem vist “H no degenerat a 1r ordre”.
En canvi per
i
haurem de calcular-ne les aproximacions a 1r ordre tal com explicarem a continuació.
és diagonal, però
no ho serà. No caldrà que considerem la matriu sencera, només el bloc que hem de diagonalitzar.
I ara diagonalitzarem aquesta matriu. Obtenint els següents valors i vectors propis (no-degenerats).
Aleshores ara ens crearem uns nous estats
La idea és semblant a el que fèiem amb dos oscil·ladors harmònics acoblats, que trobàvem unes freqüències de ressonància
i
que feien la matriu diagonal.
Que tindran per energia
Comprovar que per
obtenim les
corresponents a
Energia a 2n Ordre
Fem el mateix que abans, però ara per calcular les energies a segon ordre, no comptem els estats degenerats en la suma
Exemple: Efecte Stark
Tots els nivells excepte el fonamental estan doblement degenerats, la matriu
és la següent
I els nivells d’energia seran
Exemple: Efecte Zeeman
Extra
Notació??
Relacionat
Pàgina 135 dels apunts del Garrido.
- Els exemples típics de sistemes quàntics amb un hamiltonià independent del temps són
- Oscil·lador harmònic
- Pou de potencial infinit
- Àtom d’hidrogen
La part depenent del temps serà únicament en la pertorbació, no en el sistema que ja coneixem
Dubte
D’on surt la hipòtesis que els estats quàntics corresponents a les diferents aproximacions són ortogonals entre ells, és a dir
. En serio, d’on surt? Es postula i prou o té algun sentit físic?
Classificació de sistemes físics
No-degenerats
- Oscil·lador harmònic
- Pou de potencial infinit
Degenerats
- Àtom d’hidrogen
Quan cal fer energia a 2n ordre
“A segon ordre es fa quan la correcció de l’energia de primer ordre dona zero.”
Notes extra
Intentar fer un gràfic en la línia de
Però que sigui correcte (aquesta suma de potencials no donaria això)
Exemples senzills + problemes de la col·lecció resolts
No-degenerats
Sistema amb 2 nivells d’energia possibles no-degenerats
Enunciat
Estem en el cas no-degenerat més general possible
Oscil·lador harmònic +
Suposem una partícula sota un potencial harmònic simple (un oscil·lador harmònic)
I ara se li afegeix una petita pertorbació
Visualització
El primer que voldrem fer serà calcular la matriu
, per a fer-ho necessitarem trobar els bra-kets de la forma
On hem simplificat la notació
.
Abans de tot però, recordem les fórmules típiques de l’oscil·lador harmònic quàntic.
Així doncs
Sabem, per ortogonalitat, que molts termes es faran zero
Quedant pels elements de la diagonal de
I pels elements fora de la diagonal (
) serà zero per tots els
excepte pels següents
Dit d’altra manera, la matriu
prendrà la forma
Perfecte, ara la feina difícil ja està feta, només queda aplicar les fórmules.
L’energia corregida a primer ordre serà
Si volguéssim podríem calcular també l’energia a segon ordre
I ja que tots els termes
seran zero excepte els
,
,
i
, i d’aquests en hi haurà un total de
,
,
i
respectivament, tindrem que la suma es converteix en
No té sentit calcular l’estat per aquest problema. Tot i així, anem a intentar-ho.
Com seria?
On tenim que
Que és zero per tots els termes excepte aquells en què
,
,
o
. És a dir
Pou de potencial infinit + Pertorbació petita
Hamiltonià
Potencial constant
Si el potencial de pertorbació és constant
, la cosa es simplifica molt
Potencial semi-constant
Potencial no-uniforme
Efecte Stark no-degenerat (estat fonamental àtom d’hidrogen)
“Even though the spectrum of the hydrogen atom is degenerate for excited states, the ground state (with spin ignored) is non-degenerate, so the formalism of non-degenerate perturbation theory can be applied.”
Ex. 53
Enunciat
Solució
Ex. 54
Enunciat
Solució
Ex. 55
Enunciat
Solució
Degenerats
Sistema amb 3 nivells d’energia (2 degenerats) sense diagonalitzar
Tenim les següents matrius
Els vectors propis (normalitzats!) de
veiem que són
Amb valors propis
.
Per
aplicarem teoria de pertorbacions normal.
Què n’obtindríem?
En canvi per
i
aplicarem teoria de pertorbacions degenerada. El primer que voldrem trobar és una base d’estats propis “bons”, és a dir que diagonalitzin simultàniament (encara que sigui de manera aproximada)
i
. Anem a fer-ho.
Abans de tot, les matrius corresponents al subespai degenerat són
Que veiem que ja són diagonals, aleshores ja tenim els estats bons. I per tant podem fer com sempre. Les correccions de l’energia a primer ordre seran (com sempre) la diagonal de
, i per tant els seus valors propis.
I per tant l’energia corregida a primer ordre serà
Ara anem a fer les correccions dels estats. Recordem que aquestes les hem de fer en tot l’espai però sense tenir en compte el subespai de la degeneració.
Procés
El més important és entendre conceptualment perquè s’ignoren els termes de la degeneració.
La raó no és a l’estil
, no. El numerador és zero però el denominador també. El tema és que l’expressió no és correcta pel subespai degenerat.
Si ens mirem la teoria de pertorbacions, sabrem que tot ve d’agafar l’equació de Schrödinger i aplicar-li Taylor a segon ordre. Molt bé, doncs l’essencial és que allò ens dona unes certes, relacions, entre les quals la següent:
Aquesta relació, la podem entendre també de la següent manera:
Notar que si apliquéssim
a la segona expressió automàticament obtenim la segona.
Que si ho llegim, realment ens està dient “
és un autoestat de
, amb valor propi
”. Aleshores, per definició els estats no pertorbats (
) són autoestats de
.
Això ho compleixen TOTS els estats
, tant els que viuen fora l’espai de la degeneració com els que pertanyen al subespai de la degeneració.
Ara bé, a la que volem aplicar
a banda i banda, ens queda el següent:
I aquí sí hem de saber distingir molt clarament els dos casos.
Fora el subespai de la degeneració
Al ja haver diagonalitzat
en aquest subespai,
sempre serà zero.
Vol dir que
i
segueixen sent ortogonals DESPRÉS d’aplicar la pertorbació. És a dir ja eren ortogonals, i la pertorbació els segueix deixant ortogonals, en altres paraules “no els ha barrejat”.
Dins el subespai de la degeneració
Ara sabem que
Vol dir que
i
no són ortogonals, i per tant la pertorbació els podrà “barrejar entre si”.
La idea
Quan nosaltres apliquem teoria de pertorbacions, l’únic que estem fent és expressar els estats pertorbats com a combinació lineal d’estats no pertorbats.
No deixa de ser dir “expressa
com a combinació lineal de estats
”.
Molt bé, recordem doncs que una combinació lineal és només possible entre estats
Per tant
Un cop entès que en la suma tenim
, és a dir que sols sumem per aquells estats que no pertanyen al subespai de la degeneració, és simplement fer:
Procés
Donant
Si a ara volguéssim fer la correcció de l’energia a segon ordre seria
I per tant
Sistema amb 3 nivells d’energia (2 degenerats) havent de diagonalitzar
Cas molt similar a l’exemple d’abans però (petit spoiler) ara no estarem ja en la base dels estats “bons”, sinó que els haurem de trobar. Les matrius corresponents a
i
són:
Els vectors propis (normalitzats!) de
veiem que són
Amb valors propis
.
Per
aplicarem teoria de pertorbacions normal.
Què n’obtindríem?
En canvi per
i
aplicarem teoria de pertorbacions degenerada. El primer que voldrem trobar és una base d’estats propis “bons”, és a dir que diagonalitzin simultàniament (encara que sigui de manera aproximada)
i
. Anem a fer-ho.
Abans de tot, les matrius corresponents al subespai degenerat són
Ja que
no és diagonal, no ens trobem en la base “bona”, per a trobar-la anem a diagonalitzar
en el subespai de la degeneració, és a dir diagonalitzar
.
Molt bé, aleshores els estats bons seran
Amb energies
I les correccions de les energies seran els valors propis, i per tant len energies corregida a primer ordre seran
I les correccions dels estats les farem com sempre però ignorarem els termes degenerats (ja que
i
).
Donant
Si a ara volguéssim fer la correcció de l’energia a segon ordre seria
I per tant
Oscil·lador harmònic bidimensional: estat fonamental i primer estat excitat (degenerat)
Exemple inspirat de l’exemple 7.2 del llibre “Introduction to Quantum Mechanics -Griffiths”.
exemple oficial temporal
Enunciat
Solució
Enunciat
Considera una partícula de massa
en un potencial harmònic bidimensional.
Li afegim una petita pertorbació
Calcula les correccions a primer i segon ordre de l’energia i la correcció a primer ordre de l’estat per l’estat fonamental i el primer estat excitat.
Solució
Els nivells d’energia d’un oscil·lador harmònic bidimensional(!) són
Més informació
Si és un oscil·lador harmònic té
dimensions, on
Es compleix que la degeneració és
Es calcula amb la fórmula de combinatòria de combinacions amb repetició ja la pregunta és, per exemple “donades
,
i
, les quals poden prendre els nombres naturals (inclòs el zero) de quantes maneres podem sumar
?” Podríem calcular-ho manualment i veuríem que hi ha
possibilitats
O podríem calcular-ho amb la nostra fórmula
.
Alguns exemples
- En dimensió qualsevol estat té degeneració(no-degenerat)
- En dimensions l’estat fonamentalté degeneració(no-degenerat)
- En dimensions el primer estat excitatté degeneració(degenerat!)
- En dimensions el segon estat excitatté degeneració. I qualsevol estat general tindrà degeneració.
- En dimensions qualsevol estat tindrà degeneració. Notar que l’estat fonamental (), segueix sent no-degenerat.
L’estat fonamental no presenta degeneració (
), però el primer estat excitat sí que presenta degeneració.
La funció d’ona corresponent a l’oscil·lador harmònic bidimensional serà el producte de la funció d’ona per un OHS unidimensional en l’eix
, i un en l’eix
(graus de llibertat independents).
Petit recordatori
Per l’oscil·lador harmònic unidimensional tenim
Pel cas de l’estat fonamental només hi ha una funció d’ona possible
Nota: si fóssim estrictes hauríem d’utilitzar una lletra diferent per la funció d’ona d’un OHS en 1 dimensió i en 2 dimensions. Podríem anomenar la funció d’ona 1D amb la lletra
i deixar la
pel cas 2D, però malauradament ja la utilitzarem després per referir-nos a la base bona. I ja que lletres com
o
no són comunes per l’oscil·lador harmònic, farem aquest petit abús de notació i nomenarem les dues amb
.
Pel cas del primer estat excitat hi ha dues funcions d’ona possible amb la mateixa energia
Ens estem centrant únicament en l’estat fonamental i el primer estat excitat, així que podem escriure els hamiltonians
i
com a matrius de la forma:
Sabem que
, així doncs les components de
seran
i
. Les components de
les calcularem mitjançant les integrals següents:
Les integrals
,
,
i
, donen zero per ser funcions senars en intervals d’integració simètrics (al separar la integral en dues integrals, una per la
i l’altra per la
una de les dos sempre és zero).
Les integrals
i
les hem solucionat factoritzant la part
i la part
, i utilitzant les fórmules de la subpàgina integrals gaussianes.
Perfecte! Ja hem fet el primer pas, trobar les matrius
i
.
El segon pas ara, és trobar la base “bona” que diagonalitzi simultàniament
i
. (On
és la representació matricial de
en el subespai corresponent a la degeneració de
).
Diagonalitzant la matriu (o fixant-nos que és la matriu de Pauli
) s’obté
Els vectors propis ens donen la base bona i els valors propis la correcció a primer ordre de l’energia. (Les energies sense corregir seran les mateixes).
Sabem que en la base bona,
és diagonal, i
és diagonal, i efectivament.
Com a fet curiós, veiem que tot
és diagonal, això ens indica que els dos hamiltonians commuten
, també ens indica que les correccions a segon ordre de l’energia seran zero, i les de l’estat també (?).
Ara que tenim la base bona, podem aplicar teoria de pertorbacions. El que passa és que per aquest exemple concret, les correccions dels estats són zero. Així que únicament podem corregir les energies.
Cercle unidimensional (semblant a pou de potencial infinit)
Pou de potencial infinit cúbic
Efecte Stark Lineal (per estats excitats)
Ex. 56
Enunciat
Solució
Ex. 57
Enunciat
Solució
Ex. 58
Enunciat
Solució
Exercicis d’examen (per practicar)
P3 Gener 2024
P3 Juny 2023
Enunciat
Solució
P2 Juny 2022
Enunciat
Solució ràpida
P2 Gener 2021
Enunciat
Aparta A
P2 Setembre 2021
Enunciat
Solució
Q3 Gener 2020
Enunciat
P3 Gener 2020
Enunciat
Previ
Apartat A
P2 Juny 2020
Enunciat
Apartat A
P2 Juny 2019
Enunciat
Solució
Q4 Setembre 2019
Enunciat
Solució
P2 Setembre 2019
Enunciat
Solució
P3 Setembre 2019
Enunciat
Solució
Q2 Juny 2018
Enunciat
Solució
P3 Juny 2018
Enunciat
Solució
Q3 Gener 2018
Enunciat
P3 Gener 2018
Enunciat
P2 Gener 2017
Q4 Juny 2017
Enunciat
Subpàgina pel cas
