Equacions de Maxwell com a sols dues
Vídeos útils
YouTubeTransforming four Maxwell's equations into two
Transforming four Maxwell's equations into two
[Correction] at 11:24, it should be "Ey/c" not " - Ey/c". I've explained how Four Maxwell equations can be shown with just two Maxwell's equations in tensor notation. Electromagnetic field tensor is present. Gauss law, Ampere law and Faraday law are present. At the end, I also showed "continuity equation" in tensor notation as a bonus info !
YouTubeTensor de Faraday
és el quadri-potencial o camp del fotó, un camp gauge.
El tensor de Faraday o tensor electromagnètic és
Per canviat de l’expressió contravariant a la covariant
En notació indicial a partir del quadr-potencial és
On es compleix que
Els camps elèctric i magnètic no són invariants sota transformacions de Lorentz (diversos observadors diferiran al mesurar-los) en canvi el tensor de Faraday sí que ho és.
I per tant, el que és invariant sota transformacions de Lorentz (de manera similar al interval espai-temps) és la resta dels dos “Poynting vectors” o densitats d’energia.
Extra
I és que resulta que aquesta quantitat escalar forma part de la contribució electromagnètica que juntament amb la correcció de fase (que involucra el quadri-potencial vector) s’afegeix al Lagrangià de Dirac.
Prenent els tres termes del Lagrangià, ara sí, invariant sota transformacions de Lorentz, donant lloc a l’electromagnetisme i amb simetria de fase local
, s’obté el lagrangià pel que s’anomena l’Electrodinàmica Quàntica.
Recordem que aquí
és la densitat lagrangiana, que s’ha d’integrar sobre tot l’espai
Si volem podem partir del principi de mínima acció o directament des de les equacions de Euler-Lagrange.
Solucionant-les s’obté l’equació diferencial fonamental de l’electrodinàmica quàntica (i per tant de l’electromagnetisme)
D’aquesta se’n poden derivar les dues equacions de Maxwell inhomogènies i la conservació de la càrrega elèctrica.
Si ara prenem una partícula relativista amb càrrega elèctrica sota el potencial
, el lagrangià d’electrodinàmica quàntica prendrà la forma de
Demo
El primer terme està derivat a la wikipedia
El segon terme, el terme d’interacció es deriva a partir de
On
és el temps propi de la partícula i
la quadri-velocitat. I les equacions d’Euler Lagrange que seran
Resolent-les obtenim
La qual, si ens fixem bé, és la força de Lorentz camuflada.
Recordem que
és una força sempre, en aquest cas tenim una quadri-força. Si expandim el quadrivector veurem que les tres components espacials donen la força de Lorentz
Dubte
I la component temporal? sembla que donaria algo tipus
cosa que no té gaire sentit.
Extra: Derivada covariant
Es defineix a partir del quadri-potencial com a
i el lagrangià de l’electrodinàmica quàntica (QED) queda
Altres
C-ship: Relativistic Ray Traced Images