.png?table=block&id=d56c9ff9-fc64-46b1-865d-5087cae0c6e8&cache=v2)
Taules
De què serveixen?
Ens permeten canviar de la base acoblada a la base producte (també anomenada base desacoblada, o base independent), i també fer el canvi invers.
Notació prèvia
Base acoblada
Notació típica
Notacions alternatives
Per i
Notacions equivalents
Base producte
Notació típica
A vegades també es fa servir en minúscula, és a dir
.
Què és cada element de les taules?
- A dalt a l’esquerra hi ha les ique defineixen la taula.
- Les caselles en gris es corresponen als coeficients de Clebsch-Gordan.
- A les files blanques tenim i.
- A les columnes blanques tenim i.
Exemple per dos electrons
El canvi de base explícit
Notació amb fletxes (més entenedora)
Canvi de base invers
Notació amb fletxes
La taula de Clebsch-Gordan
Busquem a les taules la que posa
(ja que tenim dos electrons, i cada un té spin 1/2).
Nota a mode de curiositat
Realment es correspon a la següent matriu diagonal per blocs.
Com llegir la taula
Anem a veure la informació ens dona la taula
- Per expressar la base producte en funció de la acoblada ens fixem en la columna
- Per expressar la base acoblada en funció de la producte ens fixem en la fila
I com haurem vist, cal que tenir en compte una cosa
- A tots els coeficients els hem de posar una arrel quadrada
- Si hi ha un signe negatiu, aquest va fora l’arrel.
(No la posen per simplificar l’aspecte visual de la taula, però tots la tenen implícitament)
Notació
La notació pels coeficients de Clebsch-Gordan que fem servir és
En molts llibres utilitzen notacions diferents com ara
o
.
Més exemples
La taula següent
Ens dona, entre altres coses, la informació
I la taula següent
Ens dona, entre altres coses, la informació
Petit detall important
Si ens fixem, a la taula sempre ens donen
enlloc de
, és a dir la partícula amb spin més gran és la de l’esquerra al construir l’espai de Hilbert. Molt bé doncs si nosaltres volguéssim considerar la corresponent taula commutada (per exemple
enlloc de
), simplement hauríem de canviar el signe a alguns dels coeficients de Clebsch-Gordan.
Concretament haurem de canviar el signe a aquells pels quals
sigui un nombre senar.
O més formalment…
En general no caldrà aquest detall si ja considerem bé l’enunciat de bones a primeres (construïm l’espai de Hilbert fent
on
).
Exemple per
La taula següent és per
i
Si el que volem és girar l’ordre per construir la taula
, és a dir
i
, haurem de determinar en quins casos
és un nombre senar.
En el nostre cas, haurem de canviar el signe quan
sigui senar, és a dir quan
sigui senar.
Per tant la nova taula, amb els coeficients de Clebsch-Gordan canviats de signe seria
Valors possibles de i
Els valors de
van des de
(moments angulars completament oposats), fins a
(moments angulars completament alineats) en unitats de
(valors quantitzats).
I els valors de
van des de
a
, també en salts de
.
Exemple
Si
i
tindrem que
I com que els salts són de
, els valors possibles de
seran
I per tant els de
seran
Explicació intuïtiva del seu significat
Com acabem de dir, al sumar dos moments angulars
i
(amb les respectives
i
) tenim diferents valors possibles que
pot prendre (
en salts de
) i el mateix amb
(
en salts de
).
Així un mateix estat
pot donar diferents estats totals
, i al mateix temps un estat
pot haver estat generat per diferents possibles
. Aleshores l’estat final resultant (ja sigui al calcular
o al calcular
) serà la suma ponderada sobre totes les possibles combinacions. I el que ens diuen els coeficients de Clebsch-Gordan és justament quina contribució (pes) té cada un dels termes en el resultat final.
Mateix nombre de kets en les dues bases
Sempre tenim el mateix nombre de kets en les dues bases. I un ket mai tindrà un valor de
superior al valor de la seva
.
Anem a veure-ho considerant l’exemple de l’apartat anterior
Exemple
Si tenim
i
, podem construir els següents kets:
En la base producte
En la base acoblada
Com veiem, en les dues bases hi han
kets. I sempre tindrem
, és a dir que no tindrem mai un ket com ara
o
.
Nota conceptual molt important
Sumar els moments angulars
i
de dues partícules diferents per obtenir un moment angular
és a dir fer
És matemàticament idèntic a sumar els moments angulars
i
d’una sola partícula per obtenir el seu moment angular total
.
En els dos casos, per anar de la base acoblada a la producte (o a la inversa), es fa amb els coeficients de Clebsch-Gordan.
Quina base cal fer servir?
Recordatori
Si volem aplicar un operador
al nostre estat
, el que ens facilitarà més els càlculs serà expressar el nostre estat en una base que sigui pròpia de l’operador
.
Base acoblada
Per una sola partícula, la base acoblada és pròpia dels operadors
,
,
i
.
Aviam
Recordem que cada operador actua només en el seu subespai.
De la mateixa manera, per dues partícules, la base acoblada serà pròpia de
,
,
i
.
Base producte
La base producte és pròpia dels operadors
i
, corresponents al moment angular total.
Conclusió
En funció de l’operador triarem la base acoblada o la base producte, i anirem d’una a l’altra mitjançant els coeficients de Clebsch-Gordan, els quals trobarem en les taules.