Enunciat
Context Previ
[Explicar el perquè de l’apartat A]
Apartat A
Per comprovar que representen operadors d’un cert moment angular s’hauria de complir que
I efectivament és així
Comprovació matricial
Apartat B
Per trobar els valors propis i vectors propis simplement hem de diagonalitzar
.
Procés diagonalització
Primer calculem el polinomi característic i l’igualment a zero
Els valors propis veiem que són
I els valors propis els calcularem fent
Per
Un cop trobat l’eix que conté el vector propi, només cal agafar, de tots els vectors propis possibles, un dels normalitzats.
Per
Veiem que
i
han de ser zero però
està indeterminat (tots els nombres satisfan l’equació
). Per normalització tenim que
. Prenem per conveni que és un nombre real positiu i per tant tenim
.
Per
Un cop trobat l’eix que conté el vector propi, només cal agafar, de tots els vectors propis possibles, el normalitzat.
Extra: procés diagonalització
Primer calculem el polinomi característic i l’igualment a zero
Els valors propis veiem que són
I els valors propis els calcularem fent
Per
Un cop trobat l’eix que conté el vector propi, només cal agafar, de tots els vectors propis possibles, un dels normalitzats.
Per
El paràmetre
està indeterminat, per conveni (nombre real positiu) i per normalització tenim
.
Per
Un cop trobat l’eix que conté el vector propi, només cal agafar, de tots els vectors propis possibles, el normalitzat.
Obtenint
Veiem que té molta similitud amb la matriu de Pauli
Recordatori vectors propis
Extra: matriu de canvi de base
La matriu per anar a la base pròpia de
serà la inversa d’aquesta
Apartat C
Per calcular la matriu
en la base pròpia de
podem seguir dos camins
- Calcular en la base canònica i després fer el canvi de base
- Fer el canvi de base de ,i, i després calcular matricialment
Seguirem el primer camí per ser el més curt.
Així doncs en la base canònica
Que ja és una matriu diagonal, per tant està en una base pròpia.
De fet la base canònica és pròpia de
,
,
i
. I no és pròpia ni de
,
o
.
Tot i així si volem calcular l’expressió matricial de
en la base de
(que no és una base pròpia!) aquesta serà