Recursos útils
Vídeo d’on surten els GIFS de diagonalització
Un altre video relacionat
YouTubeSpectral Theorem For Dummies - 3Blue1Brown Summer of Math Exposition #SoME1
Spectral Theorem For Dummies - 3Blue1Brown Summer of Math Exposition #SoME1
This is our first time making a math video, so please forgive our mistakes. I hope you had as much fun watching as we did making it! UPDATE: We did make a mistake after all! The last matrix on the screen at 0:44 is not real! We meant to write -sqrt(2) instead sqrt(-2). Our websites: Jackie: https://www.jacquelinedoan.com Alex: http://akazachek.com Resources: 1. Our math animations were made with Manim: https://www.manim.community 2. Our doodles were drawn with Procreate 3. Our video was edited using Final Cut Pro 3Blue1Brown Summer of Math Exposition
YouTubePdf amb demos i definicions
Diagonalització i exponents de matrius i nsq de Jordan
Web que pinta útil en general
Relacionat
.svg?table=block&id=bbae64e2-6d2c-4214-93d7-a90cdba9c027&cache=v2)
Matriu diagonal
Una matriu diagonal és aquella que només té elements a la diagonal
Visualment significa agafar l’espai vectorial
expressat en un SR i escalar-ne els eixos per diferents factors.
Visualització i exemple
Si estem en una base qualsevol
, aquests vectors s’expressen a si mateixos com
,
i
respectivament.
Aleshores transformar el vector
mitjançant la matriu diagonal implica convertir-lo en el vector
és a dir escalar-lo per un factor
.
Visualment això implica
La pregunta
Donada una transformació lineal concreta, podem canviar a una base tal que els vectors base només s’escalin?
La resposta és no sempre, però amb algunes transformacions lineals concretes sí. És a dir no totes les matrius són diagonalitzables, però quan ho siguin sí podrem.
Matriu diagonalitzable
És aquella en la qual és possible un canvi de base que resulti en una matriu diagonal.
Diagonalització
Suposem que tenim una transformació lineal, que en la nostra base
s’expressa amb la matriu següent
Aquesta transformació lineal, ja que la matriu no és diagonal, agafarà els nostres vector base
i els transformarà (
i
) "traient-los de la seva línia”.
Direm que la transformació (i per tant la matriu) és diagonalitzable si existeix una base, per exemple
, la qual els seus vectors es mantinguin en la “línia”, és a dir
Nota: això realment els hi passa a tots els vectors que es troben en aquestes línies.
Visualització
Per exemple quan a fonaments de mecànica, parlàvem d’eixos principals d’inèrcia o a medis continus d’eixos principals del tensor d’esforços, fèiem referència a que el tensor (i per tant la matriu) era diagonalitzable i hi havia uns eixos principals que només s’escalaven (mentre la resta rotaven i s’escalaven).
Aleshores, si expresséssim la transformació lineal en aquesta base
, la matriu associada seria una matriu diagonal.
Vectors propis i valors propis
Nota sobre terminologia: Valor propi = VAP = Autovalor = Eigenvalue i Vector propi = VEP = Autovector = Eigenvector.
A aquests vectors que només s’escalen (
i
), els hi diem vectors propis, i el factor pel qual s’escalen (
i
) els hi diem valors propis.
La transformació lineal fa
i
, és a dir sigui
la matriu associada (en una base qualsevol) tenim que
Si la base és justament
la matriu és
. I si la base és justament
tenim que
és una matriu diagonal
Seguint amb l’exemple, si en la nostra base original
la matriu
és
I els vectors propis
i
tenen per components
Aleshores la matriu
que ens permet canviar a la nostra base (expressar-nos en el nostre llenguatge original) és
.
I la matriu que ens permet expressar un vector en la base dels valors propis, és a dir fer
, serà
On són les components dels vectors
en la base
. I tenim que una matriu és la inversa de l’altra.
Aleshores per dir quina és la transformació lineal (d’un vector qualsevol
) expressada en la base dels vectors propis (és a dir
), sabent la transformació en la nostra base (
) i els vectors propis (
,
) en la nostra base fem:
- El vector qualsevol (que volem transformar) primer de tot l’expressem en la nostra base, és a dir, fent. On les files de la matriusón els vectors propis expressats en la nostra base.
- Ara que està expressat en la nostra base, el transformem.
- I finalment expressem el vector ja transformat en l’altra base .
Aleshores si
tenim que
Pel càlcul computacional dels valors i vectors propis (amb el polinomi característic) entrar a .
Nota sobre diagonalització complexa
Si
és un vector propi, qualsevol vector
també ho serà on
és qualsevol número complex. És a dir que
és un vector propi igual de vàlid que l’altre.
Així doncs si en un vector propi pertanyent a
el visualitzàvem com un eix que s’estrenyia o comprimia (amb dues possibilitats de vector propi normalitzat a triar, la positiva i la negativa), ara un vector propi pertanyent a
l’entendrem com pertanyent a un pla en
que conté tots els vectors propis (infinits normalitzats) que s’estrenyen o contrauen per aquell valor propi.
De manera que si en
només tenim com a vectors propis normalitzats
i
(eix), ara tenim com a vectors propis normalitzats qualsevol de la forma
.
I si en
(per matrius simètriques) els vectors propis eren ortogonals, és a dir els dos eixos formaven 90 graus entre ells, en
els vectors propis són ortogonals, i els plans els que pertanyen també ho són.
Nota: ara bé en
per cada pla tenim infinits plans ortogonals (de manera similar a que en
per una línia tenim infinites línies ortogonals que passin per l’origen, que podem entendre com una mateixa línia rotada amb l’altra com a eix de rotació). La manera com entenem dels infinits plans ortogonals al pla el qual pertany
, com sabem quin és el pla al qual pertany
és la condició d’ortogonalitat. Per exemple
On aquesta
seria justament l’angle de rotació correcte del pla ortogonal al qual pertany
.
Matriu simètrica (en el cas real) i hermítica (en el cas complex) és aquella que compleix
Teorema Espectral Principal
Ens diu que si tenim una matriu simètrica o hermítica, aquesta és diagonalitzable i que els valors propis són reals.
Nota: que totes les matrius simètriques siguin diagonalitzables no implica que totes les matrius diagonalitzables siguin simètriques, una és un subconjunt de l’altra.
Això ens dona una pista, si les matrius diagonalitzables compleixen
i són més generals que les simètriques, quina condició més restrictiva compleixen les simètriques? En breus ho veurem.
Teoremes Espectrals Secundaris
Base ortonormal de vectors propis
Ens diu que pel cas no degenerat (si els valors propis són diferents), els vectors propis són ortogonals.
I ja que podem considerar els vectors propis de qualsevol magnitud (tota la “línia” es manté igual) sempre podrem construir una base ortonormal.
Demostracions dels teoremes
El teorema principal es demostra per inducció
Altres recursos
Matriu ortogonal o unitària
Matriu ortogonal (en el cas real) o unitària (en el cas complex) és aquella que compleix
Aquestes representen rotacions.
Matriu ortogonalment (o unitàriament) diagonalitzable
Diem que una matriu és ortogonalment diagonalizable si és diagonalitzable i la matriu de canvi de base és ortogonal.
I en el cas complex, diem unitàriament diagonalizable (
).
Si una matriu és simètrica (o hermítica) és un cas particular
Teorema
Una matriu és ortogonalment diagonalitzable si només si és simètrica (i unitàriament diagonalizable si només si hermítica).
És a dir
Si tenim una matriu simètrica, no només serà diagonalitzable, sinó que a més serà ortogonalment diagonalizable.
El que fan les matrius canvis de base (matrius ortogonals) és rotar d’una base (la nostra base) a l’altra (la base dels vector propis).
Descomposició Espectral
Vale ara ve la gràcia, si tenim una matriu simètrica (o hermítica), podem expressar-la a partir de la seva descomposició espectral.
Descomposició espectral
On
són els valors propis de la matriu
i
són els corresponents vectors propis
Recordem d’Àlgebra Tensorial que
Exemple
Si tenim per exemple la matriu
Que té per valors propis
Amb els corresponents vectors propis
Amb les corresponents matrius resultants del producte tensorial amb ells mateixos
Podem comprovar que la matriu
es pot expressar amb la seva descomposició espectral
Informació Descomposició Espectral
Singular Value Decomposition (SDV)
És una generalització de la descomposició espectral per matrius que no necessàriament són simètriques ni quadrades.
El que ens diu és que de manera general, qualsevol transformació lineal (matriu) es pot descomposar en 3 matrius diferents
Aquestes tres matrius són simplement tres transformacions lineals bàsiques que podem aconseguir per recrear-la, tres passo a seguir
- Una rotació/reflexió
- Una transformació que simplement escala els eixos
- Una altra rotació/reflexió
La gràcia en està en que el segon pas és simplement la matriu identitat per una constant, i el primer i el tercer són simplement transformacions ortogonals (que entre altres coses, preserven el producte escalar).
I a més, si considerem dos vectors, i mirem què l’hi hem de fer en el segon per tal de preservar el producte escalar, veurem que s’ha de fer el camí invers. I per tant, si realitzem els passos a la vegada, en tot moment estarem preservant el producte escalar. Ho podem veure visualment en el següent vídeo (minuts 11:0-16:30).
Informació SDV
Minut 11:10
Minut 7:04
Més videos
Articles sobre el tema
Singular Value Decomposition (SVD) - 공돌이의 수학정리노트 (Angelo's Math Notes)Singular Value Decomposition (SVD) - 공돌이의 수학정리노트 (Angelo's Math Notes)
What does singular value decomposition (SVD) say: For a set of orthogonal vectors, what is the orthogonal set that can still be orthogonal after linear trans...
El següent canvi preserva el producte escalar de dos vectors (i en tots els tres passos):
On clarament
.
Si ara fem el canvi invers…
Obtenim la següent igualtat:
Previ: Descomposició de Schur
Sigui
una matriu quadrada i
una matriu unitària qualsevol, podem obtenir una matriu triangular superior
fent
Matriu triangular superior vol dir que tot són zeros per sota de la diagonal.
Teorema relacionat
Resulta que si una matriu triangular superior és una matriu normal aleshores és també una matriu diagonal.
Matriu Normal = Diagonalitzable
Aleshores
Ja que un canvi de base ortogonal no canvia cap de les següents propietats
- Producte escalar
- Matriu normal
- Matriu hermítica
- Matriu unitària
Tenim que
Per la descomposició de Schur, el teorema relacionat i la invariància de normalitat… que qualsevol matriu normal es pot diagonalitzar ortogonalment.
Això implica que no només les matrius hermítiques són ortogonalment diagonalitzables (o similars ortogonalment a una diagonalitzada) sinó que també les matrius unitàries ho són.