📚
FÍSICA UB - WIKIBLOG/
*️⃣
Espai Dual
*️⃣

Espai Dual

En aquesta pàgina encara no hi ha res escrit. Si vols començar, endavant!

Recursos externs

Dual Spaces
Since I haven't posted for a while, I decided to break up my rants about homology with some posts on linear (and multilinear) algebra. In this post, we will (as usual) deal only with finite dimensional vector spaces.
Dual Spaces
https://algebrology.github.io/dual-spaces/
Covector: The Long-Lost Twin of Vector?
First of all, let us review how the vector components change with different basis vectors. Consider the following diagram with unprimed basis vectors (blue) and primed basis vectors (green). Suppos…
Covector: The Long-Lost Twin of Vector?
https://almosttensorial.wordpress.com/covector-the-long-lost-twin-of-vector/
Covector: The Long-Lost Twin of Vector?
How do I find a dual basis given the following basis?
$V = \Bbb{R}^3$ and has basis $\mathcal{B} = \{\vec{e_1}-\vec{e_2},\vec{e_1}+\vec{e_2},\vec{e_3}\}$ How do I find the dual basis? This is not homework, but an example that I am struggling to grasp...
How do I find a dual basis given the following basis?
https://math.stackexchange.com/questions/1286100/how-do-i-find-a-dual-basis-given-the-following-basis
How do I find a dual basis given the following basis?
Understanding dual spaces
Time for a short preparatory post about vector spaces. This is a follow up of my differential form post…
Understanding dual spaces
https://medium.com/@luca.ambrogioni/understanding-dual-spaces-4b39d000a7ed
Understanding dual spaces
On the Visualization of the Dual Space
This post talks about visualization of the dual space $V^*$. To read it, you need to know what a vector space is. If you don’t, this post is not for you.
https://web.tecnico.ulisboa.pt/~ist189623/wordpress/2021/08/08/on-the-visualization-of-the-dual-space/

Espai Vectorial - Repàs

Definició d’Espai Dual

 

Visualització de covectors

Quan hi ha definit un producte intern hi ha un isomorfisme natural entre
i
, això vol dir que a cada vector se li pot assignar un covector i viceversa.
Per exemple, el vector
, té un covector
assignat tal que
. En altres paraules, si coneixem un vector (i per tant el seu mòdul), coneixem el seu corresponent covector.
En l’espai vectorial
el covector serà un vector amb les mateixes components (pel cas euclidià), i en l’espai vectorial
el covector serà un conjunt de línies paral·leles. Aquestes seran tals que passen per
i toquen tan l’eix
com l’eix
, en el punt
. (El número
en el nostre exemple visual).
En la notació de la foto .
En la notació de la foto
.
I això per qualsevol vector
notion image
Clarament compleixen linealitat, és a dir
notion image
I també s’aplica a
, en el qual enlloc de línies, els covectors són plans paral·lels.
notion image

Operacions

Si tenim dos espais duals, tenim
notion image
L’espai dual resultant serà
notion image

En 3D

En tres dimensions, això és
notion image
I el covector resultant és (els plans blaus)
notion image

Més imatges

notion image
Viquipèdia: Linear Form
notion image

Relacionat

Dualitat (concepte matemàtic)
Dualitat (concepte matemàtic)