Enunciat
Previ: Operadors i
Recordem que la base
és pròpia de
i
, però no de
i
.
Tenim uns operadors
i
que en aquesta base el que fan és pujar o baixar en una unitat el nombre
.
I a partir de la seva definició, en trobem les següents relacions
Més relacions
Que és l’únic que necessitem per solucionar aquesta qüestió.
Apartat A
Si calculem
veurem ràpidament que dona zero per ortogonalitat.
I el mateix amb
.
Sentit físic
Si ho pensem té sentit, ja que
es correspon a la base
, i pot donar com a valors propis
amb
. I si tenim una
per l’eix
per l’eix
estarà indeterminada amb igual probabilitat per tots els valors (de la mateixa manera que si estava spin-up en l’eix
, per l’eix
estava 50% spin-up i 50% spin-down), i ja que
sempre tindrem que el valor esperat és zero.
Apartat B
Si ens adonem que
Veiem fàcilment que
Solució alternativa a partir de
Càlcul previ
A partir d’aquesta relació podem calcular el resultat, però el camí és més llarg.
Els dos primers termes donen zero ja que
i
són zero per ortogonalitat.
I dividint per
als dos costats de la igualtat, obtenim