Formulari Física Estadística

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{ifxetex,ifluatex}
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[catalan]{babel}
\usepackage[a4paper,bindingoffset=0.2in,%
left=0.4in,right=0.4in,top=0.625in,bottom=0.625in,%
footskip=.25in]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\setlength{\parindent}{0em}
\setlength{\parskip}{0em}
\usepackage{multicol}
\usepackage{blindtext}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{mathtools}

\pagestyle{empty}

\setlength{\columnsep}{-4.5cm}
\begin{document}
\begin{multicols}{2}
% \setlength\columnsep{10pt} % Per defecte

\raggedcolumns     %new code
\interlinepenalty=10000
\subsection*{Matemàtiques}
\subsubsection*{Combinatòria}
\vspace{-0.6em}
\scalebox{0.7}{$N=$ partícules, $k=$ nivells d'energia:}
\vspace{0.2em}

\scalebox{0.7}{dist. $\displaystyle \bar{V}_N^k=k^N $%
dist. màx 1 $\displaystyle V_N^k=\frac{k!}{(k-N)!}$}

\scalebox{0.7}{dist. inf. estats, $E$ fixada $\displaystyle\bar{C}_N^E=\frac{(n+E-1)!}{E!(E-1)!}$}

\scalebox{0.7}{bosons $\displaystyle\bar{C}_N^k=\frac{(k+N-1)!}{N!(k-1)!}$}

\scalebox{0.7}{indist. màx 1 $\displaystyle C_N^k=\frac{k!}{N!(k-N)!}$}

\scalebox{0.7}{fermions $\displaystyle C_N^{g_sk}=\frac{(g_sk)!}{N!(g_sk-N)!}$}

\scalebox{0.7}{n d'un total de N ~$\displaystyle C_n^N=\frac{N!}{n!(N-n)!}$\quad $P_N=N!$}

\vspace{-0.8em}
\subsubsection*{Aproximacions i límits}
\vspace{-0.6em}
\scalebox{0.7}{Per $N$ gran}

\scalebox{0.7}{$N!\approx\sqrt{2\pi N}\left(\frac{N}{e}\right)^N$}
\quad \scalebox{0.7}{$N-1\approx N$}

\scalebox{0.7}{$\displaystyle\ln N!\approx
N\ln N-N$}

\scalebox{0.7}{Per $x\to 0$}

\scalebox{0.7}{$\tan x\approx\sin x\approx \sinh x\approx x
\qquad e^{x}-1\approx x$}

\scalebox{0.7}{$\cos x\approx \cosh x\approx1 $}

\scalebox{0.7}{Per $b$ petit}

\scalebox{0.7}{$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k} b^n=a^n+na^{n-1}b$}

\vspace{-0.6em}
\subsubsection*{Equivalències}
\vspace{-0.8em}
\scalebox{0.7}{Funcions hiperbòliques}

\scalebox{0.7}{$e^{x}+e^{-x}=2\cosh x
\qquad e^{x}-e^{-x}=2\sinh x$}

\scalebox{0.7}{Sèrie geomètrica \qquad\qquad~  per $|r| < 1$}

\scalebox{0.7}{$\displaystyle \sum_{k=0}^n ar^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\qquad \sum_{k=0}^\infty ar^k=\frac{a}{1-r}$}

\vspace{0.3em}
\scalebox{0.7}{Sèrie de Taylor per $e^x$}

\scalebox{0.7}{$e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots=\displaystyle \sum_{N=0}^\infty \frac{x^N}{N!}$}

\scalebox{0.7}{Propietat del binomi de Newton}

\scalebox{0.7}{$\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}a^n=(a+1)^n$}

\vspace{-0.6em}
\subsubsection*{Funció gamma i integrals gaussianes}
\vspace{-0.6em}
\scalebox{0.7}{Propietats funció gamma}

\scalebox{0.7}{$\Gamma(n+1)=n! \qquad
\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$}

\scalebox{0.7}{$\Gamma(n+1/2)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}=\frac{(2 n) !}{4^n n !} \sqrt{\pi}$}

\scalebox{0.7}{$\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}\qquad \Gamma(3/2)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\qquad \Gamma(5/2)=\frac{3\sqrt{\pi}}{4}$}

\scalebox{0.7}{Integrals Gaussianes}

\scalebox{0.7}{$\int_0^\infty r^ne^{-ar}dx=\frac{n!}{a^{n+1}} \qquad \int_0^{\infty} r^n e^{-a r^2} dr=
\frac{\Gamma\big(\frac{n+1}{2}\big)}{2a^{(n+1) / 2}}$}

\vspace{0.3em}
\scalebox{0.7}{$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x^n e^{-a x^2} dx=
\frac{\Gamma\big(\frac{n+1}{2}\big)}{a^{(n+1) / 2}}$\quad si $n$ parell, $0$ si senar}

\scalebox{0.7}{Cas més general, canvi de variable $u\equiv x+\frac{b}{2a}$}

\scalebox{0.7}{$\small
\int_{-\infty}^\infty x^ne^{-(ax^2+bx+c)}dx=e^{\left(\frac{b^2}{4a}-c\right)} \int_{-\infty}^\infty \textstyle \left(u - \frac{b}{2a}\right)^n\displaystyle e^{-a u^2}  du$}

\vspace{-0.6em}
\subsubsection*{Hiperesfera i hipere\lgem ipsoide}
\vspace{-0.6em}
\scalebox{0.7}{Volum, superfície i closca esfèrica en $N$  dimensions}

\scalebox{0.7}{$\displaystyle V_N=\frac{
\big(\sqrt{\pi}\big)^N
}{ \Gamma\big(\frac{N}{2}+1\big)
}R^N\quad S_N=\frac{2\big(\sqrt{\pi}\big)^N
}{\Gamma\big(\frac{N}{2}\big)
}R^{N-1} \quad \omega_N=S_N\Delta$}

\vspace{0.3em}
\scalebox{0.7}{Integrals directes}

\scalebox{0.7}{$\int\cdots\int_{\begin{subarray}{c}
\\[1em]\mathclap{0\le\sum_{i=1}^N x_i^2\le R^2}
\end{subarray}}\prod_{i=1}^N dx_i=V_N\qquad
\int\cdots\int_{\begin{subarray}{c}
\\[1em]\mathclap{0\le\sum_{i=1}^N x_i^2\le R^2}
\end{subarray}}x_i^2\prod_{i=1}^N dx_i=~???$}

\vspace{0.3em}
\scalebox{0.7}{E\lgem ipse de radis $r_i$ $\to$ Esfera de radi $r$, mateix volum}

\scalebox{0.7}{$r=\prod_{i=1}^d r_i^{1/d}
\quad\rightarrow\quad
r=\sqrt{r_xr_y}\quad \text{,} \quad r=(r_xr_yr_z)^{1/3}$}

\vspace{0.3em}
\scalebox{0.7}{Sols 1r quadrant, octant.. $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle\frac{1}{2^d}$}

\vspace{-0.6em}
\subsubsection*{Integrals de Bose i de Fermi}
\vspace{-0.8em}
\scalebox{0.7}{No confondre's amb}
\scalebox{0.7}{$\int \frac{1}{e^{x}+1}
=\int \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}
=\ln(1+e^{-x})$}

\scalebox{0.7}{Funció zeta de Riemann}

\scalebox{0.7}{$\zeta (2)=\frac{\pi^2}{6}\quad \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\quad \zeta(\frac{3}{2})=2,612...\quad \zeta(3)=1,202...$}

\scalebox{0.7}{Funció eta de Dirichlet}

\scalebox{0.7}{$\eta(s)=\left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)
\quad \eta(1)=\ln 2 \quad \eta(2)=\frac{\pi^2}{12}$}

\scalebox{0.7}{Integral de Bose i integral de Fermi}

\vspace{0.5em}
\scalebox{0.7}{$\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1} d x=\Gamma(s)\zeta(s)\quad \int_0^{\infty} \frac{x^{s}}{e^x+1} d x=\Gamma(s)\eta(s)$}

\subsection*{Llenguatge emprat}
\subsubsection*{Distingibilitat}
\vspace{-0.6em}
Indistingibles: 'independents', 'lliures', 'idèntiques', 'iguals'

Distingibles: 'sòlid', 'fixades', 'localitzades', 'diferents'

Nota: idèntiques/independents però fixades $\rightarrow $ distingibles
\vspace{-0.9em}
\subsubsection*{Degeneració i nombres d'ocupació}
\vspace{-0.6em}
$\epsilon_k$ degenerat si $\ge2$ partícules

$n_k=$ nombre d'ocupació $=$ núm. partícules en l'estat $k$

$\langle n_k\rangle=$ promig ocupació estat $k$  $=$ distr. estadística $=$ $\frac{1}{z^{-1}e^{\beta \epsilon_i +a}}$

$E_j$ degenerat si $\ge2$ microestats donen aquell macroestat

$\Omega(E_j)=$ degeneració energia $E_j$ 

$g(\epsilon)d\epsilon=$ núm. de microestats entre $\epsilon$ i $\epsilon+d\epsilon$

\subsection*{Repàs d'ones i física quàntica}
\subsubsection*{Ones}
\vspace{-0.6em}
Ona plana $k=2\pi/\lambda\quad v=\lambda \nu\quad\omega=2\pi\nu=kv$

Ona estacionària fixada pels dos extrems
$\lambda=\frac{2L}{N}
\rightarrow
k=\frac{\pi N}{L}$

Ona electromagnètica $E=pc=h\nu=\hbar\omega \quad
p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k$
\vspace{-0.9em}
\subsubsection*{Física quàntica}
\vspace{-0.6em}
Ona de  matèria $\lambda_{DB}=p/h\quad p=\hbar k$

Partícula lliure $E=p^2/2m=\hbar^2k^2$/2m relació de dispersió




\subsection*{Co\lgem ectivitat microcanònica}
\subsubsection*{Conceptes bàsics}
\vspace{-0.6em}
$\Omega(E,N,V)=$ nombre de microestats

$\Omega(E_j)=$ núm. microestats amb energia $E_j$

$P_i=1/\Omega$ (equiprobabilitat a priori)

$\Omega_\text{indist}=\Omega_\text{dist}/N!$ correcció de Gibbs

$S=k_B \ln \Omega$ entropia de Boltzmann

\subsubsection*{Relacions termodinàmiques}
\vspace{-0.2em}
$$ \frac{1}{T}=e\left(
\frac{\partial S}{\partial E}
\right)_{N,V}
\quad
\frac{P}{T}=\left(
\frac{\partial S}{\partial V}
\right)_{E,N}
\quad 
\frac{-\mu}{T}=\left(
\frac{\partial S}{\partial N}
\right)_{E,V}$$
$$C_V=\left(
\frac{\partial E}{\partial T}
\right)_{N,V}$$
\subsubsection*{Constants}
\vspace{-0.6em}
$$\lambda = \sqrt{\frac{h^2}{2\pi mk_B T}}
\qquad\quad
\beta=\frac{1}{k_BT}$$

~\\~\\~\\~\\~\\~\\

~\\~\\~\\~\\~\\~\\

~\\~\\~\\~\\~\\~\\

~\\~\\~\\~\\~\\~\\

~\\~\\~\\~\\~\\~\\

Més informació i versió en LaTeX modificable: \href{https://fisicaubwiki.notion.site/Formulari-FIESTA-479eb9f017614a50a57e3f14535d5eb8}{\underline{[Link]}}.

\end{multicols}
\end{document}