L’objectiu és que aquesta pàgina esdevinguin uns apunts d’òptica digitals genials per estudiar.
Apunts, Bibliografia, Playlists…
Llibres de Text
El Hecht és segurament el que s’explica millor visualment.
L’assignatura de la UB es basa en el Casas, que és en espanyol i es pot dur a l’examen de problemes, ara bé en alguns temes les explicacions i els dibuixos deixen una mica a desitjar.
El dels germans Pedrotti la veritat és que està bastant bé malgrat no estar a la bibliografia oficial de la UB. És bastant complet i compta amb gràfiques i dibuixos de suport visual.
Aquest llibre és un clàssic (publicat per primera vegada l’any 1959), segueix sent una referència molt sòlida per dubtes específics però per estudiar no és l’ideal.
Physics of Light and Optics és un llibre molt complet i amb bones explicacions creat sense ànim de lucre per dos professors de la universitat de Brigham Young.
Llibre exclusiu per entendre formalment i matemàticament la difracció.
Apunts
Apunts oficials que sempre es pengen al campus
Apunts Quim Mas
Problemes
Col·lecció de problemes
Problemes de la col·lecció resolts
Vídeos David Maluenda (problemes de la col·lecció explicats i resolts)
Problemes extra resolts (llibre de la UB com a ebook)
Formulari
Exàmens Resolts
“Al ser Òptica una de les poques assignatures en què no es pengen mai les solucions oficials dels exàmens, la següent llista col·laborativa i ‘curada’ d’exàmens resolts i explicats pretén ser d’ajuda”.
Material (magatzem temporal)
Curiositats
Evolució simplificada de l’ull en la biologia
Càmera (i la seva profunditat de focus)
Bandes d’emissió
Antenes, com emeten en una direcció o altra
No tan curiositats
Repàs totxo de batxillerat (o de FEiO):
Arc iris
Principi de fermat visualització
Útils
Pq és millor una UA que una UG?
Per què permet més camp de visió.
Altres
Instruments Òptics
Teoria òptica geomètrica (no entra a l’examen)
Miratges, arcs de Sant Martí, color del cel…
Dioptres esfèrics, plans principals, sistemes òptics…
“A continuació el procés de com s’arriba formalment a l’equació de les lents primes”
Dioptres i plans principals
Realment a dins d’una lent sempre es produeixen 2 refraccions, però els rajos de llum acaben creuant l’eix òptic a un punt concret, la distància entre aquest punt i el centre de la lent és el que anomenem distància focal
.
De la mateixa manera, podem tenir una generalització d’una lent, un dioptre esfèric qualsevol.
Aquest vindrà caracteritzat per 4 paràmetres: Els dos radis de curvatura
,
, el gruix de la lent
, i l’índex de refacció del material
.
Malgrat siguin com siguin aquestes refraccions, els rajos que hagin travessat la lent creuaran l’eix òptic a una distància
(respecte el centre de la lent) que anomenarem distància focal efectiva.
Fent una mica de trigonometria podem veure que aquesta distància focal efectiva pren per fórmula:
En què si l’índex de refracció és l’aire o el buit
tenim
es compleix que el dioptre és simètric
tenim
Invariant d’Abbe
Per angles petits (aproximació paraxial) la llei de snell es pot simplificar a
I també tenim que
arribant a l’invariant d’Abbe
Que a saber com per
i considerant
et dona l’equació de les lentsç
Aberracions, sensors càmeres, ull humà…
Model Q1 i P1 examen
La Q1 i el P1 sempre van sobre instruments òptics. Un cop has entès el model matemàtic de cada un ja està, és aplicar-lo.
Qüestió 1
- Lupa
- Càmera fotogràfica
- Ullera Astronòmica
- Ullera de Galileu
- Ullera Terrestre
- Microscopi Compost
Problema 1
- Ullera Astronòmica
- Ullera Terrestre
- Ullera de Galileu
- Microscopi Compost
El problema també té la possibilitat d'incloure un apartat de:
- Desplaçar l'ocular Δx per formar la imatge a una pantalla
- Treure l'ocular i afegir una càmera a una distància 'd' de l'objectiu
- Afegir una lent inversora a una Ullera Astronòmica (UA → UT)
- Desplaçar l'ocular Δx per tal que un miop o un hipermetrop hi vegin bé
- Un apartat de difracció (ja ho veurem més endevant)
Conceptes bàsics
Índex de conceptes bàsics
- Augment lateral
- Augment visual (o angular)
- Il·luminació
- Profunditat de camp i sensibilitat dels píxels
- Vinyeteig
Explicació intuïtiva dels conceptes
Augment Lateral (β'): Es correspon al típic de quan tenim una sola lent i un objecte a una distància finita (s), ens diu com de gran és la imatge que es forma (β' = y'/y = s'/s)
Augment Visual (Γ'): A vegades també anomenat augment angular (i en anglès Magnification Power).
Hetch
“the angular magnification,, of a visual instrument is defined as the ratio of the size of the retinal image as seen through the instrument over the size of the retinal image as seen by the unaided eye at normal viewing distance. The latter is generally taken as the distance to the near point,”
És una mica més tricky d'entendre, es correspon a un conjunt de rajos que que abans amb l'ull no podíem abarcar per estar massa espaiats entre ells i ara sí degut a que els hem "comprimit", quan mirem a través de l'ull, la sensació visual és que hem fet un zoom a la realitat. Aquí dos esquemes per entendre-ho millor.
Ho podem veure en el següent simulador senzill: Telescopio Astronómico
Il·luminació: Es pot entendre bastant bé com el nombre de rajos que travessen una superfície. Si entren 6 rajos per l'objectiu i en surten 4 per l'ocular, vol dir que hem perdut il·luminació.
Profunditat de Camp: Per què al reduir el diafragma d'obertura augmentem la profunditat de camp?
En el dibuix de baix tenim 3 objectes a distàncies s1, s2 i s3, que formen imatge a s1', s2' i s3' independentment del diafragma d'obertura. La única que està realment enfocada és la imatge s2' (el cor), les altres mai estan realment enfocades.
El que passa és que en el 1r cas (sense diafragma d'obertura) si ens fixem en el traçat de rajos verds, l'angle al que convergeixen és més gran que al que ho fan pel 2n cas (amb diafragma d'obertura). Al ser aquest angle més gran, la imatge que forma a la pantalla també, veient-se borrós.
Es denomina profunditat de camp la
(distància entre la carta de piques i la de trèvols) que es pot veure nítida donat un radi de píxel (
) i una obertura de diafragma.
On
correspon al nombre de diafragma (més gran si el diafragma d'obertura està més tancat) i
és el que s’anomena cerce de confusió (és simplement el diàmetre del píxel), el qual és de 0.033mm per càmeres de 35mm (36x24mm i mai ha de ser superior a 0,25 mm.)
És important no confondre “Profunditat de camp” amb "Camp" a seques que es correspon a "Camp Visual" i és un angle. De fet ("Camp Visual" = 2ω) ja que si l'angle màxim al que podem veure una estrella és ω, l'angle màxim al que podem veure dues estrelles molt allunyades entre sí (una a dalt de tot i una a baix de tot) serà simplement 2ω (obvi però bno per si de cas).
Vinyeteig: Molt cuqui i ràpid, les vores es fan fosques com en una fotografia antiga. Per què? Bé, simplement perquè per certes inclinacions (vores de la imatge) es perden alguns rajos.
Ullera Astronòmica explicada al detall
Antic
Nota: Tot el que ve a continuació és simplement una explicació exhaustiva del diagrama de rajos d'una UA, en principi és irrellevant alhora de resoldre exercicis però ho he volgut deixar explicat a fons per què a mi em va costar molt d'entendre conceptualment al principi tot lo dels diàmetres, pupil·les, diafragmes... Un cop explicat això i mitjançant trigonometria (els triangles) i la llei de les lents, la deducció de les fórmules d'òptica geomètrica és molt ràpida. No només per una UA, sinó per qualsevol sistema òptic.
.pdf.png?table=block&id=6d242ec5-9766-4c99-9cb7-b2e4066e9d57&cache=v2)
Posicions
D’esquerra a dreta posicions importants
- Estrella (infinit)
- Objecte (distància s1 de l'objectiu)
- Objectiu = PE (Pupil·la d'Entrada)
- Punt Diafragma de Camp (punt entremig de l'objectiu i l'ocular en què els rajos condeixen en un punt)
- [F'obj = Foc] per la UA
- [Foc] pel Microscopi Compost
- [F'obj] o [Foc] per la UT
- Ocular
- PS (Pupil·la de Sortida) → a una distància 'e' (emergència) de l'ocular
Material
IMATGES XULES
Zoom (fer GIF)
Diagrama ullera astronòmica fet a mà
Diàmetre mínim ocular (realment hauria de ser ocu_min/2)
Augments, explicació
En un microscopi
perquè l’objectiu agafa un objecte a una distància finita i forma imatge.
perquè l’ocular no forma imatge (els rajos surten paral·lels fins l’infinit).
En canvi en un telescopi
perquè els rajos entren des de l’infinit i
perquè els rajos surten fins l’infinit.
Una Ullera Astronòmica (UA), també anomenada telescopi de Kepler, és un tipus de telescopi refractor (utilitza lents).
Imagina que amb un telescopi (considerem UA) estàs observant dues estrelles, i del cercle que observaries mirant pel telescopi, vols que una estrella estigui just al mig (punt vermell), i l'altra just a dalt tocant el contorn del cercle.
Mirat des de fora, el telescopi està enfocant 1 estrella (la del mig), i la estrella de dalt té una separació angular 'ω' amb l'eix del telescopi.
Aleshores de l'estrella de dalt venen un conjunt de rajos paral·lels amb inclinació màxima (ω). Un (i només un) d'aquests rajos (el que incideix en l'objectiu amb una altura màxima suficient per aconseguir travessar i sortir de l'ocular) serà el que ens definirà els següents radis (i per tant diàmetres) en què estem interessats:
- Diàmetre Pupil·la d'Entrada (Øpe)
- Diàmetre màxim diafragma de camp (Ødc) → punt on coincideixen les focals
- Diàmetre Pupil·la de Sortida (Øps)
- - -- -- -- -- -- -- -- [GRÀFIC 1 SOL RAIG AMB INCLINACIÓ MÀXIMA] -- - --- - - -- - - - - -
Al mateix temps tenim els diàmetres físics de les lents que són fixes
- Diàmetre Objectiu (Øobj)
- Diàmetre de l'Ocular (Øocu)
I els diafragmes, objectes físics que no deixen passar tots els rajos.
- Diafragma d'obertura (Ødo) → davant de l'objectiu per reduir la il·luminació
- Diafragma de camp (Ødc*) → en el punt intermig per reduir el camp (conjunts de rajos que venien paral·lels i ara coincideixen en un punt que pot ser blocat pel diafragma, és eliminant certes inclinacions)
- Diafragma darrera l'ocular → redueix la il·luminació (no es fa servir)
- - - --- - - -- - - - - - -[GRÀFIC REDUCCIÓ D'IL·LUMINACIÓ AMB DO I DE CAMP AMB DC] -- - --- - - -- -
Conceptualment ens podem imagnar 3 casos en què aquest raig d'altura i inclinació màxima seria diferent.
1) Si l'ocular fos de radi infinit i no hi hagués diafragma de camp ni d'obertura, aquest raig seria el que toqui l'objectiu just per la punta de dalt a una inclinació de 90º (el camp és 180º).
2) Si de nou no hi hagués cap diafragma però l'ocular tingués un radi finit i estigués a una distància 'd' de l'objectiu, el raig seria el que toqués l'objectiu just per la punta de dalt a una inclinació màxima (ω) i pogués arribar a l'ocular just per la punta de sota. → CAS NORMAL
El raig vindria amb inclinació màxima en el sentit que si vingués amb més inclinació no tocaria l'ocular (passaria per sota)
- - - --- - - -- - - - - - -[GRÀFIC RAIG] -- - --- - - -- -
3) Com el cas 2 però ara tenim un diafragma d'obertura. La inclinació màxima seria la mateixa (no perdem camp) però ara el raig és un que incideix a menor altura → Øpe = Ødo
(M'ha faltat mencionar que quan no hi ha diafragma d'obertura Øpe = Øobj)
Al ser Øpe i Øps proporcionals, Øps també serà menor que si no hi hagués diafragma d'obertura (perdem il·luminació), en canvi Ødc es manté igual.
- - - --- - - -- - - - - - -[GRÀFIC RAIG AMB DIAFRAGMA D'OBERTURA] -- - --- - - -- -
Dit d'altra manera:
- Øobj/2 → altura màxima del raig si no hi ha diafragma d'obertura
- Ødo/2 → altura màxima del raig si hi ha diafragma d'obertura
- ω i Ødc → Inclinació màxima del raig
Com ho obtindríem a nivell purament conceptual?
El raig sortint refractat de l'objectiu a aquesta altura → Volem que toqui l'ocular a la punta de sota → (a partir de la llei de snell) → Deduïm angle d'inclinació màxima ω → tots els rajos paral·lels amb inclinació ω van a parar a un punt → a distància Ødc/2 de l'eix òptic.
- Nota: El concepte de diafragma de camp més petit (objecte real que bloqueja conjunts de rajos que havien entrat paral·lels en funció de la inclinació i que ens fa perdre camp) no s'utilitza realment.
Quan parlem de diafragma de camp realment ens referim al descrit per la inclinació ω sense que hi hagi cap objecte físic real.
Últim apunt sobre el tema
El cercle inicial mostrat, que seria la imatge que veiem a través del telescopi no es correspon a la pupil·la de sortida, sinó a la imatge a través de l'ull d'aquesta (la que es formaria a la retina).
.png?table=block&id=534c869f-9abf-4afe-8d64-125441e55934&cache=v2)
Ho podem veure fàcilment pensant que si posem un DO (perdent il·luminació però sense perdre camp) la PE i per tant la PS es fan més petites. És a dir la PS es fa més petita però no perdem camp i per tant el cercle aquest no pot ser la PS (sinó la PS a través de l'ull).
Concepte d’emergència
Emergència
Què és la emergència?
Vale, sabem que l'ull s'ha de posar a la pupil·la de sortida i que el diàmetre de la pupil·la de sortida ha de ser igual o menor que el de l'ull si volem veure tot el camp.
El que ve a continuació és per la ullera astronòmica, pel cas general fer servir la fórmula de dalt (amb la longitud del microscopi o del telescopi).
Però per què situar l'ull a una distància 'e' de l'objectiu? On per la ullera astronòmica:
La fórmula de dalt ve simplement d'aplicar l'equació de les lents següent:
On el que estem fent és calcular a on es forma la imatge de l'objectiu (situat a una distància f'oc+f'ob de l'ocular). Aquí podríem ser com alguns profes rancis i dir que això és així per definició ja que la PS es defineix com la imatge de la PE (objectiu) a través de l'ocular.
La realitat conceptual senzilla és que això és així perquè és la distància a la que el raig que passa pel centre de l'objectiu (dels rajos paral·lels amb inclinació màxima) torna a creuar l'eix òptic un cop travessat l'ocular, tal com es veu en el següent dibuix.
Més ben fet
I per què hauria de ser així? Bé doncs perquè és la única distància a la que aquest raig imapctarà en el centre de l'ull. Si imaginem els rajos paral·lels que originalment venien de les puntes de l'objectiu, en la posició de la PS és l'únic punt en què es troben equiespaiats respecte l'eix òptic (i per tant del centre de l'ull) arribant a l'ull per tant el màxim de rajos possibles que aquest pot cobrir (si situéssim l'ull més endevant o més enrere perdríem rajos de dalt o de baix, produint-se vinyeteig)
Com a curiositat extra, fixar-se que si estem mirant amb l'ull ben situat i ens movem lleugerament, observarem els següents tipus de vinyeteig.
Imatges rares vinyeteig i emergència
.png?table=block&id=5f68591b-2176-42f7-9747-d71260d8b5d9&cache=v2)
Emergència Ullera Terrestre
En aquest exemple
Aleshores
Trigonometria i criteris de signes
És una tonteria aviso, però quasi totes les fòrmules d'òptica geomètrica s'obtenen a partir de triangles i fent tangent de l'angle és igual a catet oposat partit per catet continu. L'únic que s'ha de tenir en compte són els signes.
Criteri de signes oficial
- ω > 0 → Horari
- ε > 0 → Antihorari
- α > 0 → Horari
- s, s', f, f' > 0 → Cap a la Dreta
- y, y' > 0 → Cap Amunt
Important: Pel criteri els angles sempre es mesuren des de l'eix òptic.
[FOTO CRITERI]
Exemple: Ullera Astronòmica
Suposem per exemple que volem deduir Γ' = -f'oc/f'obj per una UA a partir de la definció de Γ'
On [y'] és l'altura formada a la retina mirant a través de l'instrument òptic i [y0'] a ull nu
Només amb el cas de ull nu ja podem veure de seguida que al aplicar la tangent el signe no és trivial.
Podem simplement adonar-nos-en i canviar el signe com acabem de fer o directament aplicar la tangent ben aplicada (explicat més endevant). Pel cas en què mirem a través del telescopi, la imatge pren una altura y’
Ara l'angle amb el que entrarien els rajos a l'ull és ω' < 0 (antihorari). On obtenim que:
Podem ara calcular Γ' a partir dels angles ω i ω' enlloc de y0' i y’
Això es complirà per qualsevol sistema òptic així que és una fórmula general. Anem un pas més enllà i calculem pel cas particular d'una UA (trobem una relació entre ω i ω').
.png?table=block&id=8c67e3fa-87f6-448c-aadb-94af567be8f8&cache=v2)
El que ens permet relacionar ω i ω' és la altura [y1'] que també li podríem dir [Ødc/2]. Tenim doncs dos triangles amb la mateixa altura.
Podem fer com hem fet, és a dir aplicar tangents i adonar-se que toca canviar el signe, o simplement aplicar la tangent ben aplicada fent servir el següent truc.
Truco criteri signes tangent
Bàsicament consisteix en pensar cada distància com un vector, i cada angle com una rotació (que comença en una línia i acaba en una altra). Aleshores es pot pensar de dues maneres per tal que els signes quadrin:
1) Si l'angle comença des de l'eix òptic → Les fletxes s'han d'allunyar o apropar a la cantonada amb angle recte
[FOTO triangle 1]
2) Si l'angle acaba a l'eix òptic → Les fletxes han de descriure una rotació
[FOTO triangle 1]
Les dues regles són equivalents però a mi m'agrada més fer servir la primera. Vale i això de què ens serveix? de no gaire, però està bé per assegurar que ho estem fent bé... per exemple els dos triangles de la UA quedarien:
[FOTO]
Miops i hipermetrops
Miop amb l’ull relaxat
Quan ens diuen que un miop necessita una correcció de
(diòptries), vol dir que estem assumint que les ulleres correctores estan totalment a prop dels ulls
i per tant
Hipermetrop amb l’ull enfocant
Diagrama fals
Si s’esforça (contrau l’ull), un hipermetrop com a molt arribarà a enfocar fins al seu punt proper. Si volem que en aquestes condicions hi vegi bé, necessitarem fer que els rajos vinguin com si vinguessin del seu punt proper.
Veiem doncs que
Arribant a
A tots els exàmens si ens diuen que un hipermetrop necessita 4 diòptries és considerant que la lent correctora de
està enganxada a l’ull, és a dir sense cap separació. Aleshores per
queda
Nota conceptual important: Notar que un hipermetrop li costa enfocar de prop i que si està relaxat i els rajos venen de l’infinit formarà imatge després de la retina, ara bé, això no vol dir que necessitem que els rajos li vagin una mica convergents, per què la situació que avaluem és quan l’hipermetrop té l’ull el màxim de contret (en aquest cas si li vinguessin de l’infinit contrauria suficient, de fet contrauria massa), necessitem que els rajos li vagin una mica divergents de forma que sembli que venen des del seu punt proper.
Pregunta que ens podríem fer:
“Aleshores tan pel miop com per l’hipermetrop necessitem que els rajos li vagin una mica divergents? Resposta: Sí
De fet per l’hipermetrop li han de venir més divergents que pel miop ja que el punt remot està més lluny que el punt proper. Tal com podem veure en el següent gràfic.
Ara bé, de nou fer èmfasis en que això és així perquè pel miop estudiem el cas en què té l’ull relaxat mentre que per l’hipermetrop estudiem el cas en què té l’ull contret.
Nota conceptual important 2: Tenim una lent convergent
però la imatge és virtual
i l’objecte està a l’esquerra de la lent
. Això és així perquè l’objecte es troba més a prop de la lent que el seu pla focal. I per tant l’equació de les lents la podem escriure com a
Esquemes miop, hipermetrop i ull sa
El nostre ull actua com una lent de distància focal variable en funció de si comprimim o no uns muscles que envolten el cristal·lí.
Malgrat treballem amb un interval de distància focal variable, a un ull hipermetrop només li interesa corregir el poder veure’s-hi de prop (de lluny no té cap problema) i a un ull miop només li interessa corregir el poder veure’s-hi de lluny (de prop no té cap problema).
És per això que d’un ull hipermetrop només necessitem saber el seu punt proper, i d’un ull miop només necessitem saber el seu punt remot.
Ull miop
Ull hipermetrop
Ull sa (emmetrop)
Comparació
Aquesta secció, que intentaré que sigui breu, ve arrel de l'apartat (d) de l'exercici 4 de la col·lecció.
Primer de tot, un vídeo per entendre la Miopia i la Hipermetropia (minut 6:15 - 12:30)
Us deixo també una simulació bastant útil per acabar d'entendre-ho:
Okay anem directament amb l'exercici:
[ENUNCIAT]
Nota: En bastants exàmens hi ha un apartat al P1 sobre com un miop o un hipermètrop veurien a través de l'instrument òptic, així que està bé que entenguem com procedir pels dos casos.
Bla bla bla l'infinit esdevé el punt remot de l'hipermetrop...
TEORIA i 2 o 3 GRÀFICS
Per tant hem de desplaçar l'ocular una distància Δx de manera que nsq es formi al punt remot
___________
Vale però "y qué pasaría si fuera al revés?", si tinguéssim un hipermètrop enlloc d'un miop?
Doncs tal tal.
Vale ara per notar que tenim els coneixament conceptualment solidificats anem a fer un apartat mig difícil d'un exercici d'examen.
POSAR UN QUE SIGUI UNA MICA TRICKY O JO ENCARA NO HAGI ACABAT D'ENTENDRE com el del examen odios (hipermetrop a través de microscopi amb doble objectiu)
Simuladors varis
Microscopi Compost explicat al detall
Aviam el següent és obvi
El següent és més tricky
L’augment lateral de l’objectiu s’obté al aïllar
en funció de
i
a l’equació de les lents i substituint-ho a l’expressió de
.
L’augment visual de l’ocular s’obté per conveni. Es considera el punt proper ja que quan observem per un microscopi sempre ho fem forçant la vista (volem enfocar de prop). I per tant
Com resoldre els apartats tricky del P1
Hem dit que el P1 podia incloure un dels següents apartats:
- Desplaçar l'ocular per formar la imatge en una pantalla
- Desplaçar l'ocular Δx per tal que un miop o un hipermetrop hi vegin bé
- Treure l'ocular i afegir una càmera a una distància de l'objectiu
- Afegir una lent inversora a una Ullera Astronòmica (UA → UT)
- Un apartat de difracció (ja ho veurem més endavant)
Anem a veure com gestionar-los.
Desplaçar l'ocular per formar la imatge en una pantalla
per formar la imatge en una pantalla
Serveix tan per una ullera astronòmica com per una ullera terrestre, com per un microscopi compost. Per la de Galileu no, però mai he vist un examen en què una ullera de Galileu tingués un apartat així.
Els rajos que surten de l’ocular a priori no convergeixen (o ho fan al
).
- Si desplacem l’ocular cap a l’esquerra, anirem apropant la imatge des del fins a la posició on es forma la imatge de l’objectiu.
- Si desplacem l’ocular cap a la dreta, anirem apropant la imatge des del fins a una distància finita respecte l’ocular (que s’anirà apropant, sense ser-ho mai, a).
“Això ho podem veure fàcilment en el següent simulador: Compound Microscope.”
Així doncs desplaçant l’ocular cap a la dreta podrem formar imatge en una pantalla.
Molt bé, poden passar dues coses segons el redactat de l’enunciat.
CAS A: L’ordre és 1) Posar una càmera 2) Moure l’ocular.
CAS B: L’ordre és 1) Moure l’ocular 2) Posar una càmera
Anomenarem a les següents variables tal que així:
- és la distància positiva (cap a la dreta) que movem l’ocular.
- és la distància entre la nova posició de l’ocular i el sensor de la càmera
- és la distància entre la nova posició de l’ocular i la imatge intermitja (formada per l’objectiu).
Nota: Si no moguéssim l’ocular tindríemi.
- (que és el que et dona l’enunciat) és o bé la distància entre la posició original de l’ocular i el sensor de la càmera (CAS A) o bé la distància entre la nova posició de l’ocular i el sensor de la càmera (CAS B).
Aleshores és bastant immediat notar que
Que juntament amb l’equació de les lents
Ens permet resoldre el problema. Si us fa mandra, aquí les solucions explícites.
Pel cas A queda la següent equació de 2n grau
Pel cas B queda una equació de 1r grau més senzilla
Nota: En general la distànciasempre dona un valor molt petit (0-5mm).
Desplaçar l'ocular per tal que un miop o un hipermetrop hi vegin bé
per tal que un miop o un hipermetrop hi vegin bé
Serveix tan per una ullera astronòmica com per una ullera terrestre, com per un microscopi compost. Per la de Galileu no, però mai he vist un examen en què una ullera de Galileu tingués un apartat així.
Els rajos que surten de l’ocular surten paral·lels.
- Si desplacem l’ocular cap a la dreta, els rajos convergiran una mica i poca cosa farem.
- Si desplacem l’ocular una mica cap a l’esquerra, els rajos divergiran una mica i per tant un miop amb l’ull relaxat s’hi podrà veure bé.
- Si desplacem l’ocular una mica més cap a l’esquerra, els rajos divergiran encara més i per tant un hipermetrop amb l’ull completament contret s’hi podrà veure bé.
“Això ho podem veure fàcilment en el següent simulador: Compound Microscope.”
Molt bé, anem a analitzar els dos casos, si tenim un miop i si tenim un hipermetrop.
Volem que un miop hi vegi bé
El miop pot enfocar des d’un punt proper (que no ens importa gaire) fins a un punt remot. Aleshores per un miop només hem de “corregir” el cas en què l’ull està completament relaxat (i per tant no pot veure més lluny).
El raonament que farem per solucionar l’apartat serà el següent.
- Els rajos que surten de l’ocular original surten paral·lels (sembla que venen de l’infinit), una persona sana hi veurà bé però un miop no.
- Si desplacem l’ocular fent que els rajos divergeixin una mica, podem aconseguir que sembli que aquests rajos venen des d’un punt concret.
- Un miop (amb l’ull completament relaxat) únicament hi veu bé (forma imatge a la retina) quan els rajos li venen des del punt remot. Nota: Si li vinguessin des d’un punt més proper no seria un problema ja que podria contraure els muscles del cristal·lí, però si li vinguessin des d’un punt més llunyà no podria fer res i si veuria borrós.
- Aleshores si desplacem l’ocular de manera que sembli els rajos venen des del punt remot del miop, aquest s’hi veurà bé (podrà enfocar amb l’ull completament relaxat).
Matemàticament això implica que
- serà negativa.
- La imatge es formarà a l’esquerra de l’ocular i per tant serà negativa.
Tot això està explicat a l’apartat de teoria corresponent, on hem vist que per un miop
La idea clau està en adonar-se (per l’esquema) que
[ESQUEMA]
Fent servir l’equació de les lents per l’ocular, ens queda una equació de 2n grau, que resolta dona
Nota conceptual 1: Ara al haver desplaçat l’ocular ha canviat la longitud del microscopi o telescopi (s’ha fet més petit), i per tant tindríem una nova emergència
a on hauríem de col·locar un ull sa respecte la nova posició de l’ocular. Però en el cas que estem fent que hi observi un miop, ho estem fent per tal que observi a la mateixa posició que observava abans l’ull sa (és a dir respecte la nova posició de l’ocular el miop posa l’ull a
, no pas a
).
Nota conceptual 2: Ja que tan per un miop com per un hipermetrop hem de desplaçar l’ocular cap a l’esquerra, l’objecte (imatge intermitja) quedarà un cop passa el pla focal de l’ocular i per això la imatge serà virtual. Com a conseqüència l’equació de les lents és
Volem que un hipermetrop hi vegi bé
Doncs ara hem de fer exactament el mateix, però volem desplaçar l’ocular més cap a l’esquerra per tal que la imatge intermitja quedi (des de la posició en la que està l’ull sense mourel) quedi a una distància igual al punt proper de l’hipermetrop.
Esquemes per visualitzar perquè és el mateix
Aleshores volem que la nova distància de la imatge respecte l’ocular sigui
I de nou
Quedant com ja hem vist
I sabent de teoria que podem calcular aquest punt proper a partir de
Polarització en medis materials
Magatzem
Propagació d’ones electromagnètiques en el buit
Expressió camp elèctric ona
Per què són equivalents aquestes dues expressions?
Anem a demostrar que
Sabem que
I per tant
Quedant
Vale, fixem-nos que per la llum (fotons) tenim
Aleshores
El que no entenc molt bé és que en els apunts oficials que donen els professors, diuen “definim
” i tan tranquil·lament ignoren la
. Algun dia entendrem per què…
I els queda
On
Més concretament si tenim els següents eixos de coordenades
El camp elèctric expressat en cartesianes és
Vector de Poynting
Els camps elèctric i magnètic són perpendiculars entre ells i al mateix temps són perpendiculars al vector de propagació de l’ona. Més concretament…
L’energia per unitat de volum que travessa un dielèctric (com ara el buit o l’aire) per unitat de temps és
Que podem expressar més fàcilment definint el que anomenem vector de Poynting
Veiem doncs que ens dona una variació d’energia per unitat de temps que travessa una unitat de superfície. Això, que ens recorda a un flux instantani d’energia ens permet definir el que anomenarem “Intensitat” que serà un promig temporal d’aquest flux instantani.
Que per ones planes la resolució de la integral dona
Bases de la polarització
Per quan tens la superposició de dues ones, en aquest simulador pots ajustar la freqüència, velocitat i amplitud de cada una:
(si una va contra l'altre i tenen la mateixa freqüència i velocitat c, es forma una ona estacionària!)
L'altra web (que també citaré més endevant) per què és realment la ostia és la següent:
(de veritat que hi ha de tot, exploreu una mica)
Vector de Poynting
Bla bla
Intro prèvia de clarificació
Típicament quan parlem de polarització, ens centrem ÚNICAMENT en el camp elèctric E. El camp magnètic B també li passa el mateix ja que un indueix l'altre i les amplituds dels dos són proporcionals però en l'anàlisi que fem sempre l'ignorem.
Quan diem un raig de llum "no polaritzat" ens referim a que hi ha molts "fotons" com si cadascun li correspongués una ona amb una polarització en principi aleatòria, de manera que "1 raig" són "moltes ones".
Ara bé, com que per cada ona podem descomposar la component del camp elèctric en una component horitzontal i una vertical, al final totes les ones (el raig) es poden representar com dues ones planes, que esquemàticament serien dues fletxes, i quan les mirem de perfil, representem la fletxa horitzontal com un punt.
Ojo amb els polarizadors (filtres)
Vale, a vegades és una mica lio ja que els trobes representats de maneres diferents però bàsicament un polaritzador que té l'eix de polarització "vertical", només deixa passar la llum "vertical". (És a dir la doble fletxa vertical, i sempre del camp elèctric).
Ara bé, contràriament al que sembla en molts vídeos, l'estructura real del polaritzador "vertical" és una estructura de línies horitzontals (jaja plotwist). Aleshores com se li diu polaritzador "vertical" a molts llocs dibuixen les línies verticals malgrat realment les haurien de dibuixar horitzontals (ja que les línies són molècules molt llargues, i l'eix de polarització és perpendicular a aquestes línies)
Tots els tipus de polarització en 2 minuts:
TOTS ELS GIFS A CONTINUACIÓ ESTAN EXPORTATS A PARTIR D'AQUESTA MAREVELLOSA WEB
Polarització circular i el·líptica:
Incidència sobre una superfície
Model conceptual
Bàsicament és l’estudi de la refracció des de la perspectiva de l’òptica electromagnètica.
Quan una ona electromagnètica incident impacta sobre la interfície entre un medi 1 i un medi 2, aquesta es separa en una ona reflectida i una ona refractada (transmesa).
Si anomenem
al vector unitari que descriu la propagació d’una ona, veurem que els vectors directors
,
i
de les 3 ones, es troben continguts en el mateix pla, que anomenem pla d’incidència.
El fenomen podríem mirar-lo des de qualsevol angle per fer-nos una idea de quin és el pla d’incidència i quin és el pla de la interfície en una perspectiva 3D.
Però per motius d’anàlisis pràctics sempre analitzarem aquest fenomen mirant-lo frontalment (el diagrama 2D que dibuixarem serà el pla d’incidència).
L’ona incident, la reflectida i la transmesa, les representarem descomposant-les com una superposició de dues ones, una continguda (paral·lela) al pla d’incidència i l’altra perpendicular.
Diagrama
Nota: Dir-li a la clara si pot canviar un moment les H per E, posar els eixos bé, fer la foto i ale.
Representem doncs amb vectors les components del camp elèctric de l’ona. Per no liar-se, està bé saber que hi ha diferents notacions utilitzades, aquí un diagrama equivalent.
Notacions i consistència
Tenim algunes coses que ens importen de cada ona (vector de propagació, angle respecte la normal, amplitud, intensitat…) i per cada una podem distingir entre les tres ones (incident, reflectida o transmesa) de dues maneres diferents, amb subíndex o amb primes. A continuació la notació triada per aquests apunts.
Notació triada (primes per distingir i epsilon pels angles)
- Vector de propagació
- —> Notació triada
- Angle respecte la normal
- —> Notació triada
- Amplitud de l’ona resultant
- —> Notació triada
- Amplitud de l’ona perpendicular i de l’ona paral·lela
- i
- i
- i
- i—> Notació triada
- Intensitat de l’ona
- —> Notació triada si sols es produeix una refracció o reflexió
- —> Notació triada si es produeixen varies incidències…
La component del camp elèctric de l’ona electromagnètica incident serà
La intensitat serà
Ojut perquè hi ha dos convenis diferents. La notació de Fresnel i la notació de Verdet.
Nosaltres (i crec que a tots els enunciats d’exàmens també), farem servir la de Fresnel, la qual simbolitza explícitament el canvi de fase en la component reflectida (quan passem de n a n’ amb n<n’).
Saber si gira en sentit horari o antihorari
Nemotècnica per recordar levògira i dextrògira:
LEVOgira = LEFT → gira cap a l'esquerra (des de dalt)
DEXTrogira = DRETA → gira cap a la dreta
Gràfic el·lipse:
Recordar que si el desfase es troba entre 0 i π → horari (normal)
Si es troba entre 0 i -π (és a dir entre π i 2π) → antihorari
Explicació del tipus de rotació segons desfasament: Polarització explicada amb GIFs
En cas que tingueu el Wolfram Player instal·lat, aquí un simulador prou xulo: Ellipse
Polarització per reflexió (angle de Brewster)
Polarization by reflection: el vídeo més útil i simple del món
Polarization by reflection & Polarization by Scattering
Nota per assegurar que està tot entès: Quan ens entra un raig (moltes ones) amb polarització random apunt d'incidir en una superfície, aquestes es poden representar amb dues fletxes: una paral·lela a la superfície (punt) i una altra perpendicular a aquesta i continguda dins del pla d'incidència (fletxa).
En el transcurs d'apuntar amb un làser a la superfície de manera vertical i anar-nos movent de amb el làser de dalt cap a l'esquerra (passant per l'angle de Brewster) fins a estar paral·lels a la superfície:
i) Una cosa bàsica, però que val la pena assegurar que s'ha entès: la component vertical (fletxa), es refracta i es reflexa continguda tota l'estona en el pla d'incidència (segueix sent la feltxa). La que incideix horitzontal (punt), es refracta i reflexa horitzontal (punt).
ii) La component vertical (fletxa) de la llum reflectida va minvant a mida que ens acostem a l'angle de Brewster, i per aquest s'anul·la completament, després es torna a recuperar.
iii) La component horitzontal (punt) de la llum reflectida va augmentant gradualment tota l'estona i per tant a l'angle de Brewster no s'anul·la pas.
iv) La component horitzontal de la llum refractada va perdent intensitat tota l'estona al mateix temps que la component horitzontal de la reflectida en va guanyant.
v) La component vertical de la llum refractada no sabem què li passa
vi) Just en l'angle de Brewster es compleix que el raig reflectit i el raig refrectat són perpendiculars (angle de 90º entre ells).
Extra: Molt bé, però què passa? per què es polaritza exactament?
La clau
“you can see that the electrons, which move along the direction of the E vector, are moving parallel to the direction of the reflected beam.” “An electrical dipole that is oscillating can send a wave in all directions - except the direction it is pointing”
Realment és specular reflection, i pot ser explicada per la phonon theory (física de l’estat sòlid) són si els àtoms fossin moltes boletes acoblades per molles.
Tret de les Feynman Lectures:
"The source of this so-called reflected light is not simply that the incident beam is reflected; our deeper understanding of this phenomenon tells us that the incident beam drives an oscillation of the charges in the material, which in turn generates the reflected beam. From the figure below it is clear thatonly oscillations normal to the paper can radiate in the direction of reflection, and consequently the reflected beam will be polarized normal to the plane of incidence. If the incident beam is polarized in the plane of incidence, there will be no reflected light".
És a dir, és la mateixa idea que si el raig refractat just en l'inici sofrís una polarization by scattering, de manera que el raig "scattered" just a 90º d'aquest, estaria perfectament polaritzat, enviant en la direcció perpendicular els punts negres (refelxió), que al ser paral·lels a la superfície del material, són absorbits mentre que la component vertical (fletxes) no. No és gaire convincent aquesta resposta perquè de fet no és certa, la realitat em temo que és bastant més complicada i involucra mecànica quàntica. Si un dia ho enetenc bé ho afageixo
I algo de atoms com a nodes d’una xarxa d’osciladors.
—> PHONONS
NONO AL FINAL ÉS TAN SENZILL COM QUE UN DIPOL EMET ONES EN TOTES LES DIRECCIONS EXCEPTE EN EL SEU EIX. —> Mirar vídeo 3blue1brown sobre oscil·ladors i òptica i fer-ne GIFs.
Si una ona circularment polaritzada incidís sobre una superfície en l'angle de Brewster la ona refractada segueiria circularment el·lípticament polaritzada igual, només canviaria la seva amplitud i direcció de propagació, mentre que la reflectida quedaria linealment polaritzada.
Cal a dir que mentre la component perpendicular del vector E, en la ona refractada, segueix la ondulació normal, en la reflectida canvia de sentit, tal com es pot veure en la següent imatge:
Altres visualitzacions del mateix: Reflection/Refraction Images
Ara bé, quan és que canvia de sentit i quan no cada component? I quan és que això produeix un desfasament i quan no? Per entendre això tenim els marevellosos coeficients de fresenel!
Coeficients de Fresnel
Material
Dubte coeficients de Fresnel
Com es relacionen aquests
Amb aquests
Vull dir com és que uns depenen dels índexs de refracció i els altres no?
Entendre el canvi de fase
Va, per entendre el canvi de fase, he elaborat uns gràfics bastant monus ^^
D’aire a vidre
De vidre a aire
Molt bé va, anem a analitzar aquests gràfics.
Anàlisis Exhaustiu
Fets Bàsics
- Sempre considerem que per l’ona incident i
- L’ona refractada mai canvia de fase, ni en la component paral·lela ni en la perpendicular.
Això implica ,i per tanti.
- Si per l’ona reflectida tenim un canvi de fase en una de les components, tindrem una amplitud negativa associada a aquella component. Això implica
- Canvi de fase en la component paral·lela —>i
- Canvi de fase en la component perpendicular —>i
- Si les dues ones (paral·lela i perpendicular) experimenten un canvi de fase les ones estaran en fase entre elles.
Fets més concrets
- Per (d’aire a vidre) sempre tindrem el següent
- Per una angle incidència entre normal i l’angle de Brewster
- A mida que ens apropem i allunyem de l’angle de Brewster
- La component perpendicular no li passa absolutament res (segueix desfasada )
- La component paral·lela s’anirà fent petita a mida que ens apropem, un cop a l’angle de Brewster serà nul·la, i s’anirà fent gran a mida que ens allunyem però en l’altre sentit, és a dir que un cop superat l’angle de Brewster hi ha un canvi de fase.
- Per un angle superior a l’angle de Brewster
- Ones desfasades desfasades entre elles radians
Hi ha un canvi de fase de
en les dues components
Per tant les dues components no es troben desfasades entre elles, és a dir tenim les ones en fase.
Gràfic
- Per (de vidre a aire) tindrem el següent
- Per un angle d’incidència inferior a l’angle de Brewster
- Ni la component perpendicular ni la component paral·lela es troben desfasades, és a dir que estan en fase.
- Per un angle d’incidència superior però inferior a l’angle límit
- La component perpendicular no li passa absolutament res
- La component paral·lela es va fent petita al apropar-se a l’angle de Brewster i després es va fent gran en l’altre sentit. És a dir que un cop superat l’angle de Brewster tenim un desfasament de .
- Per un angle d’incidència superior a l’angle límit
- La component perpendicular i la component paral·lela experimenten un desfasament arbitrari (ni ni).
- Deixa d’haver-hi refracció, és a dir que les components paral·lela i perpendicular de l’ona refractada van minvant fins a ser zero per l’angle límit.
- IMPORTANT: El fet que el desfasament entre components sigui arbitrari fa que encara que la ona incident fos polaritzada linealment, l’ona reflectida serà polaritzada el·lípticament.
- Per un angle d’incidència rasant
- Les dues components es van desfasant de manera gens trivial fins que en l’estat d’incidència rasant, la paral·lela queda en el seu estat original i la perpendicular en l’estat oposat, quedant entre elles un desfasament de .
Gràfic
Materials amb índex de refracció complex
Reflexió interna total a l’angle límit
Material
Si passem d’aigua a aire o de vidre a aire (n > n’) es pot produir reflexió total (zero refracció) a partir d’un cert angle d’incidència que anomenarem angle límit.
L’angle límit
Serà aquell angle d’incidència
tal que l’angle de refracció sigui 90 graus
.
Aleshores per la llei de Snell
A continuació ens servirà adonar-nos que
Què passa si superem aquest angle límit?
Suposició índex de refracció complex
Molt bé, però què passa si augmentem l’angle d’incidència per sobre de l’angle límit? Vale, no observarem cap raig refractat, però tot i així té sentit parlar d’un angle de refracció
?
Doncs anem a estendre-ho matemàticament (als complexes com veurem) i aviam a on anem a parar.
Recordem que per l’angle límit teníem que
Molt bé per
tindrem que
i per tant
I sabem de variable complexa que per
Podem fent una mica de mates arribar a una expressió també per el cosinus
Procediment
“No en tinc ni idea de com ha arribat aquí xd”
Fixar-se que
mentre que
, i podem definir també una
.
Molt bé doncs res ens impedeix posar aquests valors (encara que complexes) a les fórmules dels coeficients de Fresnel.
Però abans haurem de modificar-les una mica per arribar a poder-les expressar tal que…
[coefficients de fresnel amb complexes]
Que ens donen les gràfiques que ja havíem vist i no havíem entès
Repàs de les gràfiques dels coefficients de Fresnel
Estudi per material dielèctrics i conductors
[Equacions de maxwell]
Ojut perquè ara epsilon és la permeabilitat dielèctrica
Aleshores a partir d’ara farem servir
per l’angle.
Al final no sé com (a partir de les equacions de Maxwell) arribes a que es pot expressar l’índex de refracció de manera complexa
En què
s’anomena coeficient d’extinció. Pel cas particular (si cau a una qüestió serà amb aquesta aproximació) en què
aleshores
En tot cas podem expressar la llei de Snell en forma més general (complexa)
Tips pels exercicis de múltiples refraccions i reflexions
Medis anisòtrops
Birefringència
Bàsicament quan un medi és anísotrop, la component horitzontal i la component vertical del camp elèctric actuen diferent, i per tant del material en surten dues ones. Cada una amb una polarització lineal.
Pel cas de la calcita, deguda a la seva estructura mol·lecular interna, té un índex de refracció de 1.658 per dos eixos, i de 1.486 pel tercer eix.
El resultat ve a ser bàsicament veure doble, ja que una ona s'ha refractat i l'altra no.
Diagrama 3D
Diagrama 2D
Extra: Explicació intuïtiva a nivell atòmic
Doncs perquè a la component perpendicular no li afecta mentre que a la vertical li és més fàcil orientar-se amb el pla de les molècules.
A nivell molecular ho podem pensar com que hi ha uns eixos interns de l’estructura cristal·lina que fa que sigui més fàcil pels àtoms vibrar en una direcció o en l’altra
A nivell físic ens ho podríem imaginar com que les vibracions són oscil·ladors harmònics, en què a cada eix tenen una constant de la molla diferent
3blue1brown té un vídeo fent èmfasis en aquest concepte de simular les vibracions en sòlids com a oscil·ladors harmònics, i en un segon vídeo (minut 5:12) explica la idea aquesta de la birefringència a partir d’oscil·ladors.
Més material extra i curiositats sobre la birefringència
Explicació una mica més a fons (no entra): Optic Axis & Bifrefringence
La birefrigència és xula principalment per dos motius:
1) Serveix per avaular a on un material a patit tensió (stress tensor de medis)
2) Permet entrellaçar fotons!!!
Curiositat extra: Fa cosa d'uns dos anys científics al CERN van descobrir que el propi buit (de l'espai) pot actuar com un cristall birefringent i presentar diferents índexs de refracció en funció de l'estat de polarització quan és sotmès a camps electromagnètics molt i molt intensos.
Per últim, aquí una playlist d'òptica electromagnètica, que també inclou interferències.
Làmines Retardadores
General
Làmina retardadora de quart d’ona
Amb
Làmina retardadora de meitat d’ona
Extra: Polarització tractada de manera avançada
Overview
Podem descriure la polarització de dues maneres diferents: amb el càlcul de Jones i càlcul de Muller. Nosaltres tractem amb vectors de Jones, però sense utilitzar matrius per descriure l’estat de polarització ni utilitzar l’esfera de Poincaré.
Després hi ha el càlcul de Muller que et permet explicar interferències.
Web que ho explica perf
Llibres de text de referència
- Capítol 14 del llibre de text “Pedrotti” (el teniu a l’inici d’aquesta pàgina)
- Polarized Light - William A. Shurcliff (1962)
Interferències
Els apunts resum de la Lucia Cortes estan genials per aquest tema!
Material (magatzem)
Doble escletxa de Young
Gràfics
Tret del Pedrotti
Per geometria veiem (sense fer cap aproximació)
Fem l’aproximació (super bona) que l’angle
(respecte el mig, és el mateix que un angle que li direm
que va des d’una línia horitzontal de s_2 fins al raig de s_2. Aleshores per simple geometria veiem que.
Vale i ja que les dues fonts són coherents entre elles. Tindran interferència constructiva quan les dues ones tinguin un desfasament de 0 o pi, és a dir que la diferència de camí òptic (longitud) sigui un múltiple de la longitud d’ona
I interferència destructiva quan vagi desfasat +-pi/4
Donant lloc a una corba d’intensitat d’amplitud constant
Figura
Per punts prop del centre de la pantalla
tenim una aproximació sin=tan=y/L
Que es farà màxima quan dins el cosinus tinguem 0, pi, 2pi, -pi…
Per tant entre dos mínims d’intensitat hi ha una distància
que veiem que és constant. I es farà mínima quan dins el cosinus tinguem pi/2, 3pi/2…
Hi ha imatges xules:
Double Slit Experiment
Aquest simulador és sincerament la ostia per entendre-ho
Doble escletxa de Young
Vídeos YT
Experiment de Young:
Biprisme de Fresnel
Biprisme de Fresnel:
Mirall de Lloyd
Mirall de Lloyd:
Bilent de Billet
Bilent de Billet, foto esquema:
Anells de Newton
Interferòmetre de Michelson
Interferòmetre de Michelson:
En 3D
Interferòmetre de Fabry-Perot
Aclariment: Interferències vs Difracció
Principalment a interferència tens dues (2) fonts de llum puntuals separades una distància
mentre que a difracció tens un continu (infinites) de fonts de llum puntuals provinents d’una escletxa de dimensió
.
El resultat visual és que per difracció pots observar perfectament negre les zones d’interferència destructiva mentre que per interferències no tant
Diagrames
Interferències
Tenim un nombre discret de fonts de llum puntuals que interfereixen entre sí.
Interpretacions
- Estudi de 1 o 2 rajos de cada font de llum, i en funció de la distància recorreguda estaran o no desfasats.
- Entendre aquests rajos com ones electromagnètiques polaritzades linealment
Condicions
- Llum coherent
Difracció
Tenim un
Difracció —>
- Calculem la interferència dels rajos
Conceptes bàsics ràpids
Coherència i incoherència:
Interferències de dues ones visualment:
Doble escletxa de Young
Derivació conceptual
Equivalents a Young: biprisma de Fresnel, mirall de Lloyd i bilent de billet
La doble escletxa de Young, té per fórmula
El mirall de Lloyd i el biprisma de Fresnel es poden simular com un experiment de Young tals que tenen una distància
entre fonts i una distància
a la pantalla concretes.
Biprisma de Fresnel
Esquema
Veiem per tant és equivalent a un interferòmetre de Young amb
En què si només ens donen un índex de refracció aquesta serà el del biprisma i el medi exterior serà aire
. Així doncs tenim que la distància entre franges serà
El màxim rang de la pantalla en què hi haurà interferències serà el rang d’angle en què es pot simular com una doble escletxa (amplada
de la pantalla)
Dibuix explicatiu
Fixant-nos en la geometria, a partir de les tangents de l’angle
, obtenim la relació
El nombre de franges senceres que podrem observar serà
Vale suposem que obtenim
dons sabem que podrem veure
franges senceres. I per tant hi haurà una de les següents dues possibilitats
- 4 màxims i 5 mínims
- 5 màxims i 4 mínims
Com podem saber quina de les dues opcions és?
Opció intuïtiva: calculant els valors concrets dels punts i veure si superen
Exemple
Si per exemple tenim
Si no volem pensar gaire, de manera general sense contar fem el següent.
Mirall de Lloyd
Esquema
Veiem doncs que (sent
un punt qualsevol pel qual s’arribaria al mateix)
On d =? i D=? Bueno, però sobretot es pot aproximar l’arc d’angle a una recta
Làmines planoparal·leles primes
Interferòmetre de Michelson
Poder resolutiu, disc d’Airy, anells de Newton
Teoria poder resolutiu i Disc d’Airy
Què és el poder resolutiu?
Exemple: microscopi compost
Interferòmetre de Fabry-Perot
Esquema Fabry-Perot
Diferència entre Fabry-Perot i anells de Newton
Fabry-Perot per llum blanca
Anells de Newton per llum blanca
Difracció
Simuladors
Teoria
Magatzem
Introducció
Aquí hi ha un principi super important que es diu “el principi de Hyugens-Frsenel” que ojut amb ell.
Principi de HuygensLa idea clau de per què una ona al travessar una obertura petita es propaga com si allà hi hagués una font la podeu entendre en 20 segons, posant els minuts 5:00-5:10 i 6:00-6:10 i d'aquest vídeo.
Quan passa per una doble obertura:
Més interactivament:
Okay, let's go. Per entendre la difracció a full cal saber transformades de Fourier i el com s'apliquen a la òpica (Fourier Optics), però per fer els problemes i les questions del exàmen no cal entendre res d'això ja que sorprenenment pels casos que treballem les fórmules són molt senzilles.
PINTA XULA LA SEGÜENT LLIBRERIA!
Derivació expressió analítica
Arribar a la Integral a partir de Fourier
Aproximació de Fraunhofer
Difracció de Fraunhofer:
Aproximació de Fresnel
Difracció de Fresnel:
Obertura rectangular molt estreta
Considerem
. (Si la obertura fos horitzontal (
, el gràfic de difracció en la pantalla seria vertical i els càlculs serien els mateixos).
Funció analítica
A nivell molt simplificat
En matemàtiques
és un abreujament de la funció
.
Incorporant els diferents paràmetres
Sigui
la longitud d’ona,
el quadrat de l’amplitud de l’ona (plana) que surt del làser,
la distància horitzontal mesurada a la pantalla,
l’amplada (molt estreta) de l’obertura i
la distància entre l’obertura i la pantalla.
Doble obertura rectangular
Obertura circular
Doble obertura circular
Qualsevol obertura
Problemes i questions d’examen
Difracció de Fresnel
Fresnel és el cas general que té en compte la curvatura dels fronts d’ona, Fraunhofer és una aproximació per quan el làser i la pantalla estan prou lluny de l’obertura.
“You should be familiar with Fraunhofer diffraction, situations in which the wavefront at the diffracting aperture may be considered planar without appre- ciable error. We turn now to cases where this constitutes an unwarranted approx- imation, cases in which either or both source and observation screen are close enough to the aperture that wavefront curvature must be taken into account.”